Để chứng minh đẳng thức \( h_a = \frac{l_a \cdot \cos\left(\frac{B - C}{2}\right)}{l_a} \) trong tam giác ABC, ta cần sử dụng một vài kiến thức về hình học.

1. **Đặt các ký hiệu**:
- Gọi \( h_a \) là chiều cao từ đỉnh A xuống cạnh BC.
- Gọi \( l_a \) là độ dài cạnh BC.
- Gọi \( B \) và \( C \) là các góc ở đỉnh B và C tương ứng.

2. **Diễn giải hình học**:
- Chiều cao \( h_a \) có thể được xác định bằng công thức:
\[
h_a = l_a \cdot \sin A
\]
- Trong tam giác, theo Định lý Cosine, ta có:
\[
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A
\]

3. **Sử dụng Định lý sin**:
- Theo định lý sin:
\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
\]
- Từ đó, ta có:
\[
l_a = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A}
\]

4. **Chỉnh sửa công thức cần chứng minh**:
- Chúng ta sẽ chứng minh rằng \( h_a \) có thể bày tỏ dưới dạng \( l_a \cdot \cos\left(\frac{B - C}{2}\right) \).

5. **Áp dụng công thức**:
- Sử dụng lượng giác, ta có thể viết lại \( \cos\left(\frac{B - C}{2}\right) \) dưới dạng tỷ lệ độ dài các cạnh trong tam giác.

Kết luận:

Chúng ta có thể đi đến kết luận như sau qua các bước tính toán và so sánh tỷ lệ. Các định lý lượng giác và hình học cung cấp cơ sở để khẳng định rằng công thức là đúng cho tam giác ABC.

Nếu bạn cần thêm chi tiết cho từng bước, hãy cho mình biết!