Để chứng minh các hệ quả trong bài toán này, ta sẽ sử dụng tính chất của các đoạn thẳng và các góc trong vòng tròn.

### c) Chứng minh rằng \( \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BD} \)

1. **Gọi các điểm**: Gọi \( A, B, C, D \) là các điểm trên đường tròn \( (O) \) sao cho đoạn thẳng \( AC \) cắt đoạn thẳng \( BD \) tại điểm \( I \).

2. **Góc nội tiếp**: Theo định nghĩa, góc \( AIB \) nội tiếp đối diện với cung \( \overset{\frown}{AC} \) và góc \( CID \) nội tiếp đối diện với cung \( \overset{\frown}{BD} \).

3. **Đối xứng**: Theo định lý góc nội tiếp, ta có:
\[
\angle AIB = \angle CID
\]

Do đó, \( \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BD} \).

### d) Chứng minh rằng \( AB = CD \)

1. **Hai tam giác**: Xét tam giác \( AIB \) và \( CID \):
- \( \angle AIB = \angle CID \) (đã chứng minh ở phần trước).
- \( AI \) là tiếp tuyến của đường tròn nên \( OI \perp AI \).
- Tương tự, \( CI \) cũng là tiếp tuyến với đường tròn tại điểm \( I \).

2. **Rút ra tỷ số**: Dựa theo định lý về tam giác đồng dạng hay tỷ lệ đoạn thẳng, ta có:
\[
\frac{AB}{CD} = \frac{AI}{CI}
\]

3. **Kết luận**: Do \( AI = CI \) khi \( D \) là điểm đối xứng với \( C \) qua đường thẳng \( OI \), suy ra:
\[
AB = CD
\]

### Kết luận
Ta đã chứng minh các hệ quả \( \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BD} \) và \( AB = CD \).