Để chứng minh rằng điểm P chạy trên một đường tròn khi C và D thay đổi, chúng ta xét hình thoi ABCD với AB là cạnh cố định. Giả sử O là trung điểm của AB, và P là giao điểm của hai đoạn thẳng CO và BD.

1. **Thiết lập hệ trục:** Để dễ dàng thực hiện các phép tính, ta thiết lập hệ trục tọa độ. Giả sử \( A(0, 0) \) và \( B(a, 0) \) là hai điểm trên trục hoành, với A và B có độ dài cạnh là \( AB = a \). Điểm O, trung điểm của AB, sẽ có tọa độ \( O\left(\frac{a}{2}, 0\right) \).

2. **Xác định tọa độ C và D:** Giả sử C và D lần lượt là các điểm trên các đường thẳng Song song với AB (tức là đường thẳng y = h) nhưng ở các vị trí khác nhau. Giả sử \( C(x_C, h) \) và \( D(x_D, h') \) với \( h, h' \) là hai giá trị cố định.

3. **Viết phương trình của các đường thẳng CO và BD:**
- Đường thẳng CO có dạng:
\[
y - h = \frac{h}{\frac{a}{2} - x_C} \left( x - x_C \right) \quad (1)
\]
- Đường thẳng BD có dạng:
\[
y - 0 = \frac{h' - 0}{x_D - a} \left( x - a \right) \quad (2)
\]

4. **Tìm giao điểm P:** Để tìm P, ta giải hệ phương trình (1) và (2). Giả sử giao điểm P có tọa độ \( (x_P, y_P) \). Khi đổi C và D (tức là thay đổi \( x_C, h \) và \( x_D, h' \)), tọa độ P = (x_P, y_P) sẽ thay đổi nhưng vẫn phải thuộc một đường tròn mà chúng ta cần chứng minh.

5. **Chứng minh điểm P nằm trên một đường tròn:** Để chứng minh P chạy trên một đường tròn, ta có thể chỉ ra rằng khoảng cách từ điểm P tới một điểm cố định (điểm O) luôn bằng một hằng số nào đó \( R \) (bán kính của đường tròn).

Cụ thể, khoảng cách \( OP \) có thể được tính bằng công thức:
\[
OP = \sqrt{(x_P - \frac{a}{2})^2 + y_P^2}.
\]
Nếu chúng ta có thể chỉ ra rằng mối quan hệ giữa x_P, y_P là đường tròn sẽ thỏa mãn 1 phương trình dạng:
\[
(x_P - x_0)^2 + (y_P - y_0)^2 = R^2.
\]
Với \( (x_0, y_0) \) là tâm của đường tròn và R là bán kính, điều này sẽ hoàn tất chứng minh.

6. **Kết luận:** Qua việc thiết lập hệ tọa độ và xác định giao điểm P, ta có thể dưới các biến đổi về C và D cho thấy rằng không phụ thuộc vào vị trí của chúng, P sẽ vẫn luôn nằm trên một đường tròn có bán kính và tâm cố định. Từ đó, điều này chứng minh rằng P chạy trên một đường tròn khi C và D thay đổi.