Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định phương trình của đường tròn \(C\) và các điều kiện cho đường tròn \(C'\).

1. **Đường tròn \(C\)**:
- Phương trình: \((x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1\).
- Tâm \(O_C = (1, 1)\) và bán kính \(r_C = 1\).

2. **Trực tâm và tiếp xúc**:
- Đường tròn \(C'\) cần tiếp xúc với hai trục tọa độ (trục hoành và trục tung).
- Đường tròn tiếp xúc ngoài với đường tròn \(C\).

3. **Xác định vị trí của đường tròn \(C'\)**:
- Để tiếp xúc với trục hoành (trục x), bán kính \(r_{C'}\) cần bằng tọa độ y của tâm \(O_{C'}\).
- Để tiếp xúc với trục tung (trục y), bán kính cần bằng tọa độ x của tâm \(O_{C'}\).

Giả sử \(O_{C'} = (a, b)\). Ta có:
- \(r_{C'} = a\) (tiếp xúc trục y)
- \(r_{C'} = b\) (tiếp xúc trục x)

Vậy \(a = b\). Đặt \(r_{C'} = a\), ta có tâm \(O_{C'} = (a, a)\).

4. **Điều kiện tiếp xúc với đường tròn \(C\)**:
- Khoảng cách giữa \(O_C\) và \(O_{C'}\) phải bằng tổng bán kính hai đường tròn:
\[
\sqrt{(a - 1)^2 + (a - 1)^2} = a + 1
\]
- Giải phương trình trên:
\[
\sqrt{2(a - 1)^2} = a + 1
\]
\[
\sqrt{2}(a - 1) = a + 1
\]
- Bình phương hai bên:
\[
2(a - 1)^2 = (a + 1)^2
\]
\[
2(a^2 - 2a + 1) = a^2 + 2a + 1
\]
\[
2a^2 - 4a + 2 = a^2 + 2a + 1
\]
\[
a^2 - 6a + 1 = 0
\]

5. **Giải phương trình bậc hai**:
- Sử dụng công thức nghiệm:
\[
a = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}
\]

Do đó, ta có hai giá trị của \(a\):
- \(a_1 = 3 + 2\sqrt{2}\)
- \(a_2 = 3 - 2\sqrt{2}\) (giá trị này không thể vì nó không dương)

6. **Tâm và bán kính của đường tròn \(C'\)**:
- Suy ra tâm \(O_{C'} = (3 + 2\sqrt{2}, 3 + 2\sqrt{2})\).
- Bán kính \(r_{C'} = 3 + 2\sqrt{2}\).

**Tóm lại**, phương trình của đường tròn \(C'\) sẽ là:
\[
(x - (3 + 2\sqrt{2}))^2 + (y - (3 + 2\sqrt{2}))^2 = (3 + 2\sqrt{2})^2
\]