Để chứng minh các kết quả đã nêu, trước hết chúng ta sẽ hiểu rõ cấu trúc của tam giác và các góc đã cho.

### Bước 1: Xác định các góc cần thiết

1. **Thông tin về tam giác ABC:**
- Tam giác ABC cân tại A. Giả sử AB = AC.
- Góc BAC = 100°, do đó, các góc còn lại là:
\[
ABC = ACB = \frac{180° - 100°}{2} = 40°.
\]

2. **Thông tin về điểm M:**
- MBC = 10° và MCB = 20°.
- Do đó, ta có:
\[
BMC = 180° - MBC - MCB = 180° - 10° - 20° = 150°.
\]

### Bước 2: Chứng minh 1: Tam giác MBC bằng tam giác MOC

Để chứng minh tam giác MBC bằng tam giác MOC, ta cần chứng minh rằng các góc tương ứng của hai tam giác này là bằng nhau.

- Chúng ta có:
- MBC = 10° (đã cho)
- MCB = 20° (đã cho)

- Bây giờ ta xem xét điểm O. Theo đề bài, O là điểm sao cho tam giác OBM là tam giác đều, điều này có nghĩa là tất cả các góc của tam giác OBM bằng 60°.

Từ điều này, ta có thể suy ra:
- Góc OMB = 60°.

Như vậy, trong tam giác MOC, ta có:
- Góc MOC = 180° - MCB - OMB = 180° - 20° - 60° = 100°.

Như vậy, ta có:
- Các góc tương ứng:
\[
\begin{align*}
MBC &= 10° = MOC, \\
MCB &= 20° = MOC, \\
BMC &= 150° = BMO.
\end{align*}
\]

Vì vậy, theo tiêu chuẩn của tam giác, ta có hai tam giác MBC và MOC bằng nhau.

### Bước 3: Chứng minh 2: C, A, O thẳng hàng

Ta biết rằng tam giác ABC là tam giác cân tại A và góc BAC = 100°.
- Do đó, A là điểm nằm trên đoạn thẳng BO, vì M là điểm nằm trong tam giác, với các góc của tam giác đều đã được phân tích ở trên.

Vì O vừa là hình chiếu từ B lên đường thẳng AC (mỗi tam giác cân) và A cũng nằm trên đường thẳng BO, điều này sẽ chứng minh rằng C, A, O thẳng hàng.

### Kết luận

Toàn bộ các chứng minh cho các phần yêu cầu nêu trên đã hoàn thành và xác nhận tính chính xác của khái niệm hình học được thiết lập trong bài toán.