Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước như sau:

### a) Tính số đo góc BAC

1. **Vẽ hình**: Ta có hai hình tròn:
- Hình tròn \(O_1\) bán kính \(3cm\)
- Hình tròn \(O_2\) bán kính \(1cm\)
- Hai hình tròn này tiếp xúc ngoài tại điểm \(A\).

2. **Xác định góc BAC**:
- Hai bán kính \(O_1B\) và \(O_2C\) sẽ tạo thành một góc tại điểm \(A\).
- Tại điểm tiếp xúc, góc \(O_1AB\) và \(O_2AC\) sẽ là các góc vuông với đường tiếp tuyến tại điểm \(A\).
- Vậy ta có:
\[
\angle O_1AB = 90^\circ \quad và \quad \angle O_2AC = 90^\circ
\]
- Từ đó, góc \(BAC = 180^\circ - \angle O_1AB - \angle O_2AC = 180^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 0^\circ\).

### b) Tính độ dài \(O_1I\)

1. **Xác định điểm \(I\)**:
- \(I\) là giao điểm của đường thẳng \(BC\) và đoạn thẳng \(O_1O_2\).
- Để tính độ dài \(O_1I\), ta cần biết khoảng cách giữa \(O_1\) và \(O_2\).

2. **Tính độ dài \(O_1O_2\)**:
- Khoảng cách giữa hai tâm \(O_1\) và \(O_2\) sẽ là:
\[
O_1O_2 = O_1A + O_2A = 3cm + 1cm = 4cm
\]

3. **Tính \(O_1I\)**:
- Với cấu hình hình vẽ, theo tính chất tỉ lệ, ta tìm \(O_1I\) với \(I\) là giao điểm trên đoạn \(O_1O_2\).
- Tại giao điểm \(I\):
- Xét tỉ lệ:
\[
\frac{O_1I}{O_1O_2} = \frac{r_1}{r_1 + r_2} = \frac{3}{3+1} = \frac{3}{4}
\]
Do đó,
\[
O_1I = \frac{3}{4} \times 4cm = 3cm.
\]

### Kết luận

- Số đo góc \(BAC\) là \(0^\circ\).
- Độ dài \(O_1I\) là \(3cm\).