Để rút gọn biểu thức \( P \):

\[
P = \frac{2}{\sqrt{x - 2}} \left( \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x - 4} + \frac{1}{\sqrt{x - 2}} \right)
\]

### Bước 1: Xác định điều kiện của biến

Biểu thức này được xác định khi:
- \( x - 2 \geq 0 \) (tức là \( x \geq 2 \))
- \( x - 4 \neq 0 \) (tức là \( x \neq 4 \))

Vậy điều kiện xác định cho \( x \) là \( x \geq 2 \) và \( x \neq 4 \).

### Bước 2: Rút gọn biểu thức

1. Rút gọn bên trong dấu ngoặc:

\[
\sqrt{x} \cdot \frac{1}{x - 4} + \frac{1}{\sqrt{x - 2}} = \frac{\sqrt{x}}{x - 4} + \frac{1}{\sqrt{x - 2}}
\]

2. Tìm mẫu chung:

Mẫu chung của hai phân thức là \( (x - 4)\sqrt{x - 2} \):

\[
\frac{\sqrt{x}\sqrt{x - 2} + (x - 4)}{(x - 4)\sqrt{x - 2}}
\]

3. Lắp lại vào biểu thức \( P \):

\[
P = \frac{2}{\sqrt{x - 2}} \cdot \frac{\sqrt{x}\sqrt{x - 2} + (x - 4)}{(x - 4)\sqrt{x - 2}}
\]

4. Đơn giản hóa:

\[
= \frac{2(\sqrt{x}\sqrt{x - 2} + (x - 4))}{(x - 4)(x - 2)}
\]

### Kết luận

Biểu thức \( P \) đã được rút gọn thành:

\[
P = \frac{2(\sqrt{x}\sqrt{x - 2} + (x - 4))}{(x - 4)(x - 2)}
\]

### Bước 3: Tìm giá trị nguyên của \( x \)

Để có giá trị nguyên của \( x \) mà \( P \) có giá trị nguyên, bạn nên thử các giá trị nguyên khác nhau trong khoảng từ 2 đến 4 và các giá trị lớn hơn 4 cho đến khi tìm được kết quả phù hợp.

Bạn có thể kiểm tra từng giá trị bằng cách thế vào biểu thức đã rút gọn trên.