Để chứng minh các biểu thức sau luôn âm với mọi giá trị của biến, ta cần phân tích từng biểu thức một.

1. **Biểu thức a)**: \( x^2 + x - 16 \)

Biểu thức này là một đa thức bậc 2. Để tìm điều kiện âm, ta tìm nghiệm của phương trình \( x^2 + x - 16 = 0 \):

- Tính delta: \( \Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 1 + 64 = 65 \) (có 2 nghiệm).
- Nghiệm phương trình là \( x = \frac{-1 \pm \sqrt{65}}{2} \).
- Do đó, hàm số sẽ có giá trị dương tại khoảng giữa hai nghiệm và âm tại hai khoảng bên ngoài (cần xác định).

2. **Biểu thức b)**: \( y^2 - 9y + 25 \)

Tính delta: \( \Delta = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 81 - 100 = -19 \) (không có nghiệm thực).

Biểu thức này luôn dương vì phân thức bậc 2 có dạng như trên và hệ số bậc 2 dương.

3. **Biểu thức c)**: \( 2x^2 + 14x + 30 \)

Tính delta: \( \Delta = 14^2 - 4 \cdot 2 \cdot 30 = 196 - 240 = -44 \) (không có nghiệm thực).

Biểu thức này cũng luôn dương.

4. **Biểu thức d)**: \( 3z^2 - 15z + 24 \)

Tính delta: \( \Delta = (-15)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 24 = 225 - 288 = -63 \) (không có nghiệm thực).

5. **Biểu thức e)**: \( 5x^2 + 10x - 15 \)

Tính delta: \( \Delta = 10^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-15) = 100 + 300 = 400 \) (có nghiệm). Để xác định tính âm, ta kiểm tra giá trị của hàm số trong khoảng giữa hai nghiệm.

### Kết luận:
Để chứng minh một biểu thức nào đó luôn âm hoặc dương, ta cần phân tích nó dựa vào các yếu tố như nghiệm của phương trình, delta và dấu của các hệ số. Trong trường hợp này, cần xem xét từng biểu thức một cách chi tiết hơn.