Để tìm tham số \( m \) sao cho hàm số

\[
y = \frac{3x + m}{x - 2m}
\]

được xác định trên khoảng \((1; 3)\), ta cần tìm điều kiện để mẫu không bằng 0 trong khoảng này.

1. **Điều kiện mẫu khác 0**:

Mẫu \( x - 2m \) phải khác 0, tức là:

\[
x - 2m \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq 2m
\]

2. **Tìm điều kiện cho \( m \)**:

Xét khoảng \((1; 3)\):
- Khi \( x = 1 \), ta có \( 1 \neq 2m \) sẽ cho \( m \neq \frac{1}{2} \).
- Khi \( x = 3 \), ta có \( 3 \neq 2m \) sẽ cho \( m \neq \frac{3}{2} \).

3. **Kết luận**:

Để hàm số được xác định trên khoảng \((1; 3)\), ta cần rằng \( m \) không bằng các giá trị vừa tìm được.

Vậy:
\[
m \neq \frac{1}{2} \quad \text{và} \quad m \neq \frac{3}{2}
\]

Điều này đảm bảo hàm số xác định trên khoảng \((1; 3)\).