Để giải phương trình \( \sqrt{2x^2 + 6x + 1} = x + 2 \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Bình phương hai bên** để loại bỏ căn bậc hai:
\[
2x^2 + 6x + 1 = (x + 2)^2
\]

2. **Mở rộng bên phải**:
\[
2x^2 + 6x + 1 = x^2 + 4x + 4
\]

3. **Đưa tất cả các hạng tử về một phía**:
\[
2x^2 + 6x + 1 - x^2 - 4x - 4 = 0
\]
\[
x^2 + 2x - 3 = 0
\]

4. **Giải phương trình bậc hai**:
Sử dụng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Với \( a = 1, b = 2, c = -3 \):
\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}
\]

Từ đó ta có hai nghiệm:
\[
x_1 = \frac{2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-6}{2} = -3
\]

5. **Kiểm tra lại nghiệm**:

- Với \( x = 1 \):
\[
LHS = \sqrt{2(1)^2 + 6(1) + 1} = \sqrt{2 + 6 + 1} = \sqrt{9} = 3
\]
\[
RHS = 1 + 2 = 3 \quad \Rightarrow \text{Nghiệm này đúng.}
\]

- Với \( x = -3 \):
\[
LHS = \sqrt{2(-3)^2 + 6(-3) + 1} = \sqrt{18 - 18 + 1} = \sqrt{1} = 1
\]
\[
RHS = -3 + 2 = -1 \quad \Rightarrow \text{Nghiệm này không đúng.}
\]

**Kết luận**: Nghiệm của phương trình là \( x = 1 \).