Để chứng minh rằng \( a^7 + b^7 + c^7 \) chia hết cho 6 với điều kiện \( a + 7b + 19c \) chia hết cho 6, ta sẽ sử dụng tính chất chia hết cho 2 và 3 (vì 6 = 2 × 3).

**Bước 1: Chứng minh chia hết cho 2**

Ta xét điều kiện \( a + 7b + 19c \equiv 0 \mod{6} \). Ta có:
- \( 7 \equiv 1 \mod{2} \implies 7b \equiv b \mod{2} \)
- \( 19 \equiv 1 \mod{2} \implies 19c \equiv c \mod{2} \)

Do đó, theo modulo 2:
\[
a + 7b + 19c \equiv a + b + c \equiv 0 \mod{2}
\]
Điều này có nghĩa là \( a + b + c \) chia hết cho 2.

Bây giờ chúng ta xem xét:
- Nếu \( a, b, c \) đều chẵn, thì \( a^7, b^7, c^7 \) cũng chẵn, do đó \( a^7 + b^7 + c^7 \) chẵn.
- Nếu một trong các số lẻ, và hai số còn lại chẵn, tổng \( a + b + c \) vẫn sẽ là chẵn, do đó \( a^7 + b^7 + c^7 \) cũng chẵn.

**Bước 2: Chứng minh chia hết cho 3**

Tiếp theo, ta xét modulo 3. Xét từng số \( a, b, c \mod{3} \):
- Nếu \( a \equiv 0 \mod{3} \), thì \( a^7 \equiv 0 \mod{3} \).
- Nếu \( a \equiv 1 \mod{3} \), thì \( a^7 \equiv 1 \mod{3} \).
- Nếu \( a \equiv 2 \mod{3} \), thì \( a^7 \equiv 2 \mod{3} \).

Tương tự cho \( b \) và \( c \). Ta kiểm soát điều kiện \( a + 7b + 19c \equiv 0 \mod{3} \):
- \( 7 \equiv 1 \mod{3} \implies 7b \equiv b \mod{3} \)
- \( 19 \equiv 1 \mod{3} \implies 19c \equiv c \mod{3} \)

Khi đó, ta có:
\[
a + 7b + 19c \equiv a + b + c \equiv 0 \mod{3}
\]

Điều này cho thấy rằng \( a + b + c \equiv 0 \mod{3} \).

**Kết thúc:**

Vì \( a + b + c \equiv 0 \mod{2} \) và \( a + b + c \equiv 0 \mod{3} \), ta suy ra rằng:
\[
a + b + c \equiv 0 \mod{6}
\]
Do đó, \( a^7 + b^7 + c^7 \) sẽ chia hết cho 6.

Vậy ta đã chứng minh rằng nếu \( a + 7b + 19c \) chia hết cho 6, thì \( a^7 + b^7 + c^7 \) cũng chia hết cho 6.