Để rút gọn biểu thức \( P \) và tìm giá trị \( a \) sao cho \( P \geq -2 \), chúng ta bắt đầu từ biểu thức:

\[
P = \left( \frac{1}{\sqrt{a} - 3} + \frac{1}{\sqrt{a} + 3} \right) \left( 1 - \frac{3}{\sqrt{a}} \right)
\]

**Bước 1: Rút gọn phần đầu tiên**

Ta sẽ rút gọn

\[
\frac{1}{\sqrt{a} - 3} + \frac{1}{\sqrt{a} + 3}
\]

Ta sẽ tìm mẫu chung là:

\[
\frac{\sqrt{a} + 3 + \sqrt{a} - 3}{(\sqrt{a} - 3)(\sqrt{a} + 3)} = \frac{2\sqrt{a}}{a - 9}
\]

Vậy phần đầu tiên được rút gọn thành:

\[
\frac{2\sqrt{a}}{a - 9}
\]

**Bước 2: Rút gọn phần thứ hai**

Với phần thứ hai:

\[
1 - \frac{3}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a} - 3}{\sqrt{a}}
\]

**Bước 3: Kết hợp lại**

Giờ chúng ta kết hợp lại các phần:

\[
P = \left( \frac{2\sqrt{a}}{a - 9} \right) \left( \frac{\sqrt{a} - 3}{\sqrt{a}} \right)
\]

Khi nhân sẽ được:

\[
P = \frac{2\sqrt{a}(\sqrt{a} - 3)}{(a - 9)\sqrt{a}} = \frac{2(\sqrt{a} - 3)}{a - 9}
\]

**Bước 4: Giải bất phương trình \( P \geq -2 \)**

Bây giờ chúng ta cần giải bất phương trình:

\[
\frac{2(\sqrt{a} - 3)}{a - 9} \geq -2
\]

Nhân cả hai vế với \( a - 9 \) (lưu ý rằng dấu bất đẳng thức sẽ thay đổi khi \( a - 9 < 0 \)):

\[
2(\sqrt{a} - 3) \geq -2(a - 9)
\]

Đây trở thành:

\[
2\sqrt{a} - 6 \geq -2a + 18
\]

Sắp xếp lại:

\[
2\sqrt{a} + 2a \geq 24
\]

Chia cả hai vế cho 2:

\[
\sqrt{a} + a \geq 12
\]

**Bước 5: Phân tích phương trình**

Gọi \( x = \sqrt{a} \). Khi đó \( a = x^2 \) và bất phương trình trở thành:

\[
x + x^2 \geq 12 \Rightarrow x^2 + x - 12 \geq 0
\]

**Bước 6: Giải phương trình bậc hai**

Phương trình \( x^2 + x - 12 = 0 \) giải bằng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{-1 \pm 7}{2}
\]

Nghiệm là \( x = 3 \) và \( x = -4 \) (không khả thi vì \( x = \sqrt{a} \geq 0 \)).

**Bước 7: Xét dấu**

Nghiệm thực tế là \( x \geq 3 \), tức là:

\[
\sqrt{a} \geq 3 \Rightarrow a \geq 9
\]

**Kết quả cuối cùng:**

a) Biểu thức \( P \) đã được rút gọn:

\[
P = \frac{2(\sqrt{a} - 3)}{a - 9}
\]

b) Giá trị của \( a \) để \( P \geq -2 \) là:

\[
a \geq 9
\]

Hy vọng thông tin này hữu ích với bạn!