Để rút gọn biểu thức \( A \) và tìm \( x \) sao cho \( A = 1 \), ta làm theo từng bước như sau:

### Bước a: Rút gọn biểu thức \( A \)

Biểu thức đã cho là:

\[
A = \left( \frac{1}{x-2} + \frac{2x}{x^2-4} + \frac{1}{x+2} \right) \cdot \left( \frac{2}{x} - 1 \right)
\]

**1. Rút gọn phần trong ngoặc đầu tiên:**

Chú ý rằng \( x^2 - 4 = (x-2)(x+2) \), do đó:

\[
\frac{2x}{x^2 - 4} = \frac{2x}{(x-2)(x+2)}
\]

Tìm mẫu số chung cho các phân số trong ngoặc:

Mẫu số chung là \( (x-2)(x+2) \).

\[
\frac{1}{x-2} = \frac{x+2}{(x-2)(x+2)}
\]

Tạo phân số:

\[
\frac{1}{x-2} + \frac{2x}{(x-2)(x+2)} + \frac{1}{x+2} = \frac{x+2 + 2x + (x-2)}{(x-2)(x+2)}
\]

Giản ước:

\[
= \frac{(4x)}{(x-2)(x+2)} = \frac{4x}{x^2 - 4}
\]

**2. Tính biểu thức \( A \):**

Thay kết quả vào \( A \):

\[
A = \left( \frac{4x}{x^2 - 4} \right) \cdot \left( \frac{2}{x} - 1 \right)
\]

Viết \( \frac{2}{x} - 1 \) dưới dạng phân số:

\[
\frac{2}{x} - 1 = \frac{2-x}{x}
\]

Từ đó:

\[
A = \frac{4x}{x^2 - 4} \cdot \frac{2-x}{x} = \frac{4(2-x)}{x^2 - 4}
\]

### Bước b: Tìm \( x \) để \( A = 1 \)

Giải phương trình:

\[
\frac{4(2-x)}{x^2 - 4} = 1
\]

Nhân chéo:

\[
4(2-x) = x^2 - 4
\]

Giải phương trình:

\[
8 - 4x = x^2 - 4
\]
\[
x^2 + 4x - 12 = 0
\]

Giải phương trình bậc 2:

Dùng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2} = \frac{-4 \pm 8}{2}
\]

Cách giải ra được 2 nghiệm:

1. \( x = 2 \)
2. \( x = -6 \)

### Kết luận

- **Biểu thức rút gọn:** \( A = \frac{4(2-x)}{x^2 - 4} \)
- **Giá trị \( x \) sao cho \( A = 1 \):** \( x = 2 \) và \( x = -6 \) (xem xét điều kiện xác định của biểu thức).