Chúng ta có hình chữ nhật ABCD với các cạnh lần lượt là AB và AD. Để tìm độ dài các cạnh của hình chữ nhật, ta bắt đầu từ các thông tin đã cho.

1. **Chu vi hình chữ nhật**: Chu vi của hình chữ nhật là \(P = 2(AB + AD) = 36 \text{ cm}\). Điều này dẫn đến:
\[
AB + AD = 18 \text{ cm}
\]

2. **M là trung điểm của cạnh BC**, tức là \(M\) nằm giữa \(B\) và \(C\), nên độ dài của \(BM\) và \(MC\) bằng nhau.

3. **Đặt điểm I là trung điểm của cạnh AD**, tương tự \(I\) cũng nằm giữa \(A\) và \(D\).

4. Bây giờ, \(MI = \frac{AD}{2}\) vì \(I\) là trung điểm của \(AD\). Và vì M là trung điểm của \(BC\), ta có \(MI = AB\).

5. Từ hai mối liên hệ trên, ta suy ra:
\[
\frac{AD}{2} = AB
\]

6. Hay từ đây, ta có \(AD = 2AB\).

7. Tiếp theo, kết hợp với phương trình chu vi:
\[
AB + 2AB = 18
\]
Kết hợp lại, ta có:
\[
3AB = 18
\]
Từ đó suy ra:
\[
AB = 6 \text{ cm}
\]

8. Từ \(AD = 2AB\):
\[
AD = 2 \times 6 = 12 \text{ cm}
\]

Vậy độ dài các cạnh của hình chữ nhật ABCD là:
- \(AB = 6 \text{ cm}\)
- \(AD = 12 \text{ cm}\)

#### Để trả lời cho câu hỏi tại sao \(MI = AB\):
- Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\), nên đoạn \(BM\) bằng đoạn \(MC\).
- Từ điều kiện \(MA \perp MD\) và tính chất hình học của các đoạn thẳng trong tam giác \(AMI\) (khi vẽ \(MA\) và \(MD\)), ta có thể nhận thấy rằng trong tứ giác \(ABMD\), các điểm \(M\) và \(I\) tạo thành một đoạn thẳng chia hai đoạn \(AB\) và \(AD\) theo tỉ lệ. Do đó, chiều dài đoạn \(MI\) được tính là bằng với chiều dài cạnh \(AB\).

Tóm lại, từ mối liên hệ giữa các đoạn thẳng trong hình chữ nhật và tính chất các điểm trung điểm, chúng ta đã chứng minh được rằng \(MI = AB\).