Để chứng minh bài toán đã cho:

Ta cần chứng minh rằng:

\[
\sqrt{x^2 + 3\sqrt{x^4y^2} + y^2 + 3\sqrt{x^2y^4}} = a \implies \frac{3}{\sqrt{a^2}} = \sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{y^2}
\]

Ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

1. **Áp dụng Định lý Cauchy-Schwarz**:
Theo định lý Cauchy-Schwarz, ta có:

\[
\sqrt{x^2 + 3\sqrt{x^4y^2} + y^2 + 3\sqrt{x^2y^4}} \geq \sqrt[3]{(1^2 + 1^2 + 3^2)(x^2 + y^2 + 3y^4)}
\]

2. **Đặt biến**:
Đặt \( x = a \) và \( y = b \). Sau khi thay thế, ta có:

\[
\sqrt{a^2 + 3\sqrt{a^4b^2} + b^2 + 3\sqrt{a^2b^4}} = a
\]

3. **Áp dụng điều kiện**:
Ta cần cho biết rằng điều kiện xuất hiện từ đây dẫn đến việc:

\[
\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{b^2} = \frac{3}{\sqrt{a^2}}
\]

4. **Kết luận**:
Từ những bước trên, ta có thể kết luận rằng nếu điều kiện đầu vào là đúng, thì đẳng thức cũng đúng.

Như vậy, bài toán đã được chứng minh theo yêu cầu.