Để chứng minh các phần đã nêu trong bài toán về hình thang cân ABCD, ta sẽ sử dụng một số đặc điểm của hình thang cân và một số thuộc tính của các đường chéo và các đường thẳng giao nhau.

### a) Chứng minh tam giác AOB cân.

1. **Tính chất hình thang cân**: Trong hình thang cân ABCD, ta có AB // CD và AC = BD (bởi vì các cạnh đối diện của hình thang cân là bằng nhau).

2. **Góc tại O**: Xét hai tam giác OAD và OBC.
- Ta thấy rằng AD cắt BC tại O.
- Do AB // CD, suy ra ∠OAB = ∠OCD.
- Tương tự, ∠OBA = ∠OAD.

3. **Tìm hiểu về tam giác OAB và OAD**:
- Do hai góc tại O là góc đối đỉnh, ta có ∠AOB = ∠AOD.
- Xét đường chéo AC và BD, do chúng cắt nhau tại E, với E là giao điểm của AC và BD, ta thấy rằng E chia AC và BD thành các đoạn.

4. **Áp dụng tính chất**:
- Xét tam giác OAB và OAD:
- Có ∠OAB = ∠OAD và ∠OBA = ∠OAD, từ đó chúng ta có hai góc bằng nhau.
- Từ đó, suy ra tam giác OAB và OAD có các cạnh tương ứng bằng nhau.

5. **Kết luận**: Từ những phân tích trên, ta có thể đi đến kết luận rằng tam giác AOB là tam giác cân, khi đó OA = OB.

### b) Chứng minh EC = ED.

1. **Sự đồng dạng của các tam giác**: Từ việc đã chỉ ra rằng tam giác AOB là tam giác cân, ta cũng có tương tự với các tam giác khác trong hệ thống này.

2. **Hình chiếu và các góc**:
- Ta có AE là phần kéo dài từ A đến E và BE kéo dài từ B đến E.
- Do mùa góc tương ứng và các góc đối đỉnh, ta có ∠AEC = ∠BED và ∠AEB = ∠CED.

3. **Áp dụng định lý**: Theo định lý về tỉ lệ đoạn,
- Do E là giao điểm của AC và BD, ta có EC và ED là các đoạn thẳng chia đều nhau do tính chất của giao điểm trong tam giác.

4. **Kết luận**: Từ tất cả các biểu thức và tính chất hình học đã chứng minh, ta có thể nhận thấy rằng EC = ED.

Vậy, ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán.