Để tính giá trị của biểu thức \( S = \frac{b+c}{a+b} + \frac{c+a}{b+c} + \frac{a+b}{c+a} \), bạn có thể sử dụng tính chất của tỉ số trong điều kiện a, b, c khác 0.

Theo hệ phương trình:

\[
\frac{a}{b+c-a} = \frac{b}{c+a-b} = \frac{c}{a+b-c} = k
\]

Từ đó, ta có:

\[
a = k(b+c-a), \quad b = k(c+a-b), \quad c = k(a+b-c).
\]

Vì \( a, b, c \) đều khác 0, giả sử \( a + b + c = 1 \), bạn có thể tìm ra mối liên hệ giữa các tỉ số.

Sau khi thay thế vào biểu thức \( S \):

Tính từng phần tử riêng rẽ:

1. \( \frac{b+c}{a+b} = \frac{1-a}{1} = 1-a \)
2. \( \frac{c+a}{b+c} = \frac{1-b}{1} = 1-b \)
3. \( \frac{a+b}{c+a} = \frac{1-c}{1} = 1-c \)

Khi cộng lại:

\[
S = (1-a) + (1-b) + (1-c) = 3 - (a+b+c) = 3 - 1 = 2.
\]

Vậy giá trị của biểu thức \( S \) là \( 2 \).