Để rút gọn biểu thức \( F = \sqrt{2x-1 - \sqrt{x(3x-2)}} + \sqrt{6x-1 + 3\sqrt{x(3x-2)}} \) trong khoảng \( \frac{2}{3} < x < 1 \), chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

1. **Đặt biến phụ:** Gọi \( y = \sqrt{x(3x-2)} \).
2. **Điều kiện của \( y \):** Với \( \frac{2}{3} < x < 1 \), thì \( y \geq 0 \).
3. **Thay thế và đơn giản hóa:** Biểu thức sẽ trở thành:
\[
F = \sqrt{2x-1 - y} + \sqrt{6x-1 + 3y}
\]

4. **Phân tích các thành phần:** Cố gắng làm việc với từng căn bậc hai bằng cách giản lược.

### Bước 1: Tìm giá trị của \( y \)

Ta có:
\[
y = \sqrt{x(3x-2)} = \sqrt{3x^2 - 2x}
\]

### Bước 2: Xác định \( F \)

Sử dụng \( y \), ta có thể tính \( F \) như sau, biểu diễn hoàn chỉnh:
\[
F = \sqrt{2x-1 - \sqrt{3x^2-2x}} + \sqrt{6x - 1 + 3\sqrt{3x^2-2x}}
\]

### Bước 3: Rút gọn với các điều kiện

Hãy kiểm tra các điều kiện và thử nghiệm với các giá trị cụ thể trong khoảng \( \frac{2}{3} < x < 1 \). Đây có thể giúp chứng minh và rút gọn biểu thức chính xác hơn.

### Kết luận

Biểu thức có thể được rút gọn hơn nữa tùy thuộc vào giá trị cụ thể của \( x \). Bạn nên thử các giá trị cụ thể để xác định dạng đơn giản nhất cho \( F \).