Để rút gọn phương trình \( (x + 3)^2 + (2y + 1)^2 = 10 \) với điều kiện \( x, y \in \mathbb{Z} \):

1. **Phân tích phương trình**:
Phương trình có dạng tổng bình phương. Đầu tiên, ta cần xem xét các khả năng của \( (2y + 1)^2 \) vì nó cần phải là một số không âm và không lớn hơn 10.

2. **Giá trị khả thi của biểu thức**:
\[
(2y + 1)^2 \leq 10 \implies |2y + 1| \leq \sqrt{10} \approx 3.16
\]
Điều này có nghĩa là \( -3 \leq 2y + 1 \leq 3 \). Từ đó suy ra:
\[
-4 \leq 2y \leq 2 \implies -2 \leq y \leq 1
\]
Vậy \( y \) có thể nhận các giá trị \( -2, -1, 0, 1 \).

3. **Xét từng giá trị của \( y \)**:

- **Khi \( y = -2 \)**:
\[
2y + 1 = -3 \implies (2y + 1)^2 = 9
\]
\[
(x + 3)^2 + 9 = 10 \implies (x + 3)^2 = 1 \implies x + 3 = \pm 1
\]
Vậy \( x = -2 \) hoặc \( x = -4 \).

- **Khi \( y = -1 \)**:
\[
2y + 1 = -1 \implies (2y + 1)^2 = 1
\]
\[
(x + 3)^2 + 1 = 10 \implies (x + 3)^2 = 9 \implies x + 3 = \pm 3
\]
Vậy \( x = 0 \) hoặc \( x = -6 \).

- **Khi \( y = 0 \)**:
\[
2y + 1 = 1 \implies (2y + 1)^2 = 1
\]
\[
(x + 3)^2 + 1 = 10 \implies (x + 3)^2 = 9 \implies x + 3 = \pm 3
\]
Vậy \( x = 0 \) hoặc \( x = -6 \).

- **Khi \( y = 1 \)**:
\[
2y + 1 = 3 \implies (2y + 1)^2 = 9
\]
\[
(x + 3)^2 + 9 = 10 \implies (x + 3)^2 = 1 \implies x + 3 = \pm 1
\]
Vậy \( x = -2 \) hoặc \( x = -4 \).

4. **Tổng hợp các giá trị**:
Các cặp \( (x, y) \) thỏa mãn phương trình là:
- \( (-2, -2) \)
- \( (-4, -2) \)
- \( (0, -1) \)
- \( (-6, -1) \)
- \( (0, 0) \)
- \( (-6, 0) \)
- \( (-2, 1) \)
- \( (-4, 1) \)

Vậy, các giá trị nguyên \( (x, y) \) thỏa mãn phương trình là:
\[
\{ (-2, -2), (-4, -2), (0, -1), (-6, -1), (0, 0), (-6, 0), (-2, 1), (-4, 1) \}
\]