Để giải bài toán về hình vuông ABCD với các điểm E và F, ta sẽ tiến hành từng phần như sau:

### a) Chứng minh tam giác AEF vuông cân.
- Gọi O là trung điểm của đoạn EF.
- Tam giác AEF vuông cân khi AO vuông góc với EF và AE = AF.
- Sử dụng định lý Pythagoras và tính toán độ dài để chứng minh.

### b) Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh I thuộc BD.
- Sử dụng vị trí của điểm E trên cạnh DC và F trên tia đối của BC để suy ra toạ độ của I.
- Chứng minh rằng toạ độ của I nằm trên đường thẳng BD.

### c) Lấy điểm K đối xứng với A qua I. Chứng minh tam giác AEKF là hình vuông.
- Tính toạ độ điểm K.
- Chứng minh AE = AK, EF = EK và các góc tại điểm I đều bằng 90 độ, để từ đó kết luận AEKF là hình vuông.

Nếu cần chi tiết hơn từng bước tính toán hoặc giải thích cụ thể, hãy cho tôi biết!