Để giải bài toán với hình thoi ABCD với AB = BD, ta cùng thực hiện các bước sau:

### Phần a: Chứng minh \(\angle ADM = \angle BDN\)

1. **Xét các tam giác**: Ta có hình thoi ABCD nên AB = BC = CD = DA và các góc đối diện bằng nhau. Do đó, ta có:
- \(\angle DAB = \angle ABC\) (góc đối diện)
- \(\angle ABD = \angle ACD\) (góc đối diện)

2. **Gọi \(O\)** là giao điểm của đường chéo AC và BD. Ta biết rằng góc trong hình thoi cũng có các tính chất đặc biệt mà ở đây không cần mở rộng thêm.

3. **Xét tam giác ADM và tam giác BDN**:
- Ta có: \(AD = BD\) (bởi vì ABCD là hình thoi).
- Hệ quả từ điều này là \(AM = BN\) (do cho trước).
- Ta cần chứng minh rằng hai tam giác này có các cạnh tương ứng bằng nhau.

4. **Sử dụng định nghĩa**: Theo tính chất của hình thoi và quy tắc chứng minh góc, ta có:
\[
\angle ADM + \angle ADB = 180^\circ \quad (1)
\]
\[
\angle BDN + \angle BDB = 180^\circ \quad (2)
\]
Mà \(\angle ADB = \angle BDB\) (bởi vì chúng là các góc đối diện trong hình thoi). Từ (1) và (2) ta rút ra được:
\[
\angle ADM = \angle BDN
\]
Do đó, chúng ta đã chứng minh được rằng \(\angle ADM = \angle BDN\).

### Phần b: Chứng minh tam giác MDN là tam giác đều

1. **Các yếu tố của tam giác MDN**:
- Từ điều kiện đã cho là \(AM = BN\) và đã chứng minh được rằng \(\angle ADM = \angle BDN\). Ta có để chứng minh MDN là tam giác đều, ta cần chứng minh rằng ba cạnh MD, DN và MN bằng nhau.

2. **Xét cạnh MD**:
- Dễ thấy rằng \(MD = AM + AD\). Tuy đã khẳng định AM bằng BN, nhưng do hình thoi nên \(AD\) cũng bằng \(BC\).
- Từ đó, ta có:
\[
MD = AM + AD
\]
Tương tự với DN:
\[
DN = BN + BD
\]

3. **Chứng minh cạnh MD và DN**:
- Vì \(\angle ADM = \angle BDN\) nên \(\triangle ADM \sim \triangle BDN\), tức là các cạnh tương ứng cũng sẽ tỷ lệ với nhau.
- Ta lại có bài toán có \(AM = BN\) giúp xác định rằng các cạnh của ba điểm đều bằng nhau, tức là:
\[
MD = DN = MN
\]

4. **Kết luận**:
Khi chứng minh được rằng ba bên của tam giác MDN đều bằng nhau, ta kết luận rằng tam giác MDN là tam giác đều.

Như vậy, qua các bước trên, ta đã hoàn thành việc chứng minh các yêu cầu của bài toán.