Tìm tất cả các số tự nhiên n, k để n^8 + 4^{2k+1} là số nguyên tố

Để tìm tất cả các số tự nhiên \( n \), \( k \) sao cho \( n^8 + 4^{2k+1} \) là số nguyên tố, ta có thể phân tích như sau:

1. **Biểu thức \( 4^{2k+1} \)**:
Ta có \( 4^{2k+1} = (2^2)^{2k+1} = 2^{4k+2} \).
Do đó, biểu thức trở thành \( n^8 + 2^{4k+2} \).

2. **Xét tính chất của số nguyên tố**:
- Nếu \( n = 0 \):
\( n^8 + 2^{4k+2} = 2^{4k+2} \) sẽ không phải là số nguyên tố khi \( k \geq 0 \) vì nó sẽ là số chẵn lớn hơn 2.
- Nếu \( n = 1 \):
\( n^8 + 2^{4k+2} = 1 + 2^{4k+2} \).
Để biểu thức này là số nguyên tố, \( 1 + 2^{4k+2} \) phải là số nguyên tố. Ta thấy rằng với mọi \( k \geq 0 \), \( 2^{4k+2} \) là số chẵn, dẫn đến \( 1 + 2^{4k+2} \) là số lẻ, có thể là số nguyên tố nếu \( k = 0 \) (cho \( k = 0 \), ta có \( 1 + 4 = 5 \), là số nguyên tố).
- Nếu \( n \geq 2 \):
Khi \( n \geq 2 \), ta thấy rằng \( n^8 \) là số chẵn và \( 2^{4k+2} \) cũng là số chẵn, tổng của hai số chẵn sẽ là số chẵn. Số nguyên tố duy nhất là số 2, nhưng \( n^8 + 4^{2k+1} = n^8 + 4^{2k+1} \) sẽ lớn hơn 2 với \( n \geq 2 \).

3. **Kết luận**:
Từ các phân tích trên, ta thấy rằng chỉ có các cặp số tự nhiên \( (n, k) = (1, 0) \) đảm bảo \( n^8 + 4^{2k+1} \) là số nguyên tố, cụ thể là số 5.

Vậy, cặp duy nhất là:
\[
(n, k) = (1, 0)
\]