Để phân tích đa thức \( x^2 + 9a^2x^2 + 6ax^2 \) thành nhân tử, trước tiên ta có thể nhóm các hạng tử lại và sử dụng yếu tố chung.

Bước 1: Nhóm các hạng tử chung:

\[
x^2 + 9a^2x^2 + 6ax^2 = x^2(1 + 9a^2 + 6a)
\]

Bước 2: Xem xét biểu thức trong dấu ngoặc:

\[
1 + 9a^2 + 6a
\]

Đây là một đa thức bậc 2 đối với \( a \). Chúng ta sẽ thử phân tích biểu thức này.

Bước 3: Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2 để kiểm tra:

Đặt \( P(a) = 1 + 6a + 9a^2 \). Ta có thể kiểm tra nghiệm của phương trình \( P(a) = 0 \) thông qua công thức nghiệm:

\[
D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 36 - 36 = 0
\]

Vì \( D = 0 \), phương trình có nghiệm duy nhất:

\[
a = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 9} = -\frac{1}{3}
\]

Bước 4: Từ nghiệm này, ta phân tích \( 1 + 6a + 9a^2 \) có thể viết dưới dạng bình phương hoàn hảo:

\[
1 + 6a + 9a^2 = (3a + 1)^2
\]

Bước 5: Thay thế vào biểu thức và viết lại:

\[
x^2(1 + 6a + 9a^2) = x^2 (3a + 1)^2
\]

Vậy ta có kết quả cuối cùng là:

\[
x^2(3a + 1)^2
\]

Đây chính là phân tích đa thức \( x^2 + 9a^2x^2 + 6ax^2 \) thành nhân tử.