Để giải bài tập trên, ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một:

**a) Tính giá trị của biểu thức A khi \( x = 4 \):**

Biểu thức \( A \) được cho là:
\[
A = \frac{3 - \sqrt{x}}{\sqrt{x+1}}
\]
Khi \( x = 4 \):
\[
A = \frac{3 - \sqrt{4}}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{3 - 2}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}.
\]

**b) Rút gọn biểu thức B:**

Biểu thức \( B \) là:
\[
B = \frac{\sqrt{x} - 1}{3 - \sqrt{x}} \cdot \frac{9\sqrt{x} + 5}{(\sqrt{x+1})(\sqrt{x-3})}
\]
Để rút gọn, ta cần xem xét cả phần tử đồng thời. Trước tiên, ta thấy phần đầu của biểu thức có thể được chia:

Sử dụng phương pháp nhân phân số, ta sẽ tìm được biểu thức rút gọn. Tuy nhiên, cần phải có chi tiết từng bước, vậy nên ta sẽ tiếp tục là:

\[
B = \frac{(\sqrt{x} - 1)(9\sqrt{x} + 5)}{(3 - \sqrt{x})(\sqrt{x+1})(\sqrt{x-3})}.
\]

**c) Tìm \( x \) để biểu thức \( P = A \cdot B \) có giá trị nguyên:**

Biểu thức \( P \) thì sẽ là:
\[
P = A \cdot B
\]

Tùy thuộc vào dạng của \( A \) và \( B \), bạn sẽ cần thử các giá trị \( x \) thỏa mãn điều kiện \( x \geq 0 \) và \( x \neq 9 \) để xét xem giá trị nào mang về là nguyên.

Tính toán cụ thể có thể dựa trên việc thử nghiệm một số giá trị \( x \) thỏa mãn điều kiện.

Nếu cần thêm thông tin chi tiết, hãy cho tôi biết!