Chứng minh rằng: √(a + b)^2 + 3 + √(b + c)^2 + 3 + √(a + c)^2 + 3 ≥ 6 điều kiện là a + b + c ≥ 3/2

Để chứng minh bất đẳng thức

\[
\sqrt{(a+b)^2 + 3} + \sqrt{(b+c)^2 + 3} + \sqrt{(a+c)^2 + 3} \geq 6
\]

với điều kiện \(a + b + c \geq \frac{3}{2}\), ta xét từng thành phần bên trái.

Đầu tiên, ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các phần tử của bất đẳng thức. Chúng ta có:

\[
\sqrt{(x+y)^2 + z} \geq \sqrt{2xy} \text{ với } x = a + b, y = b + c, z = 3 \text{ (Ví dụ giả định)}
\]

Tuy nhiên, ta sẽ chứng minh trực tiếp bằng việc xét \(f(x) = \sqrt{x^2 + 3}\). Hàm này là hàm lồi (do đạo hàm bậc hai dương).

Tiếp theo, rút gọn bất đẳng thức trên. Ta sẽ dùng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trên các căn:

\[
\sqrt{(a+b)^2 + 3} = \sqrt{(a+b)^2 + 3\cdot1^2} \geq \frac{(a+b) + 1 + 1}{\sqrt{2}} \text{ (áp dụng Cauchy-Schwarz)}
\]

Từ đó, chúng ta có:

\[
\sqrt{(a+b)^2 + 3} \geq \frac{(a+b) + 2}{\sqrt{2}}
\]

Làm tương tự với các thành phần còn lại:

\[
\sqrt{(b+c)^2 + 3} \geq \frac{(b+c) + 2}{\sqrt{2}}
\]
\[
\sqrt{(a+c)^2 + 3} \geq \frac{(a+c) + 2}{\sqrt{2}}
\]

Bây giờ chúng ta kết hợp lại:

\[
\sqrt{(a+b)^2 + 3} + \sqrt{(b+c)^2 + 3} + \sqrt{(a+c)^2 + 3} \geq \frac{(a+b) + (b+c) + (a+c) + 6}{\sqrt{2}} = \frac{2(a+b+c) + 6}{\sqrt{2}}
\]

Với điều kiện \(a+b+c \geq \frac{3}{2}\), ta suy ra:

\[
2(a + b + c) + 6 \geq 2 \cdot \frac{3}{2} + 6 = 3 + 6 = 9
\]

Do đó:

\[
\sqrt{(a+b)^2 + 3} + \sqrt{(b+c)^2 + 3} + \sqrt{(a+c)^2 + 3} \geq 6
\]

Vì vậy, bất đẳng thức đã được chứng minh.

Kết luận:

\[
\sqrt{(a+b)^2 + 3} + \sqrt{(b+c)^2 + 3} + \sqrt{(a+c)^2 + 3} \geq 6 \text{ khi } a + b + c \geq \frac{3}{2}.
\]