Để chứng minh rằng \( n^3 + n + 2 \) là hợp số với mọi \( n \in \mathbb{N}^* \), ta sẽ kiểm tra các giá trị nhỏ của \( n \) và tìm cách tổng quát.

1. **Xét một số trường hợp:**
- Khi \( n = 1 \):
\[
n^3 + n + 2 = 1^3 + 1 + 2 = 1 + 1 + 2 = 4 \quad (\text{hợp số})
\]
- Khi \( n = 2 \):
\[
n^3 + n + 2 = 2^3 + 2 + 2 = 8 + 2 + 2 = 12 \quad (\text{hợp số})
\]
- Khi \( n = 3 \):
\[
n^3 + n + 2 = 3^3 + 3 + 2 = 27 + 3 + 2 = 32 \quad (\text{hợp số})
\]
- Khi \( n = 4 \):
\[
n^3 + n + 2 = 4^3 + 4 + 2 = 64 + 4 + 2 = 70 \quad (\text{hợp số})
\]

2. **Chứng minh tổng quát:**
Để tổng quát, ta phân tích biểu thức \( n^3 + n + 2 \) cho các giá trị \( n \):
- Với \( n \) là số chẵn (ví dụ \( n = 2k \)), ta có:
\[
n^3 + n + 2 = (2k)^3 + 2k + 2 = 8k^3 + 2k + 2
\]
Đây là một số chẵn, vì vậy nó sẽ chia hết cho 2 và lớn hơn 2 (nên là hợp số).

- Với \( n \) là số lẻ (ví dụ \( n = 2k + 1 \)), ta có:
\[
n^3 + n + 2 = (2k + 1)^3 + (2k + 1) + 2 = (8k^3 + 12k^2 + 6k + 1) + (2k + 1) + 2
\]
\[
= 8k^3 + 12k^2 + 8k + 4 = 4(2k^3 + 3k^2 + 2k + 1)
\]
Điều này cũng sẽ là một số chẵn, và lớn hơn 4, do đó cũng là hợp số.

**Kết luận:**
Với mọi \( n \in \mathbb{N}^* \), \( n^3 + n + 2 \) luôn là hợp số.