Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm BC. Trên tia đối MA lấy điểm D từ D kẻ đường thẳng vuông góc với AB, AC lần lượt tại E, F. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với MF tại N

Chúng ta sẽ chứng minh góc \( \angle AND = 45^\circ \) theo các bước sau:

1. **Gọi các điểm:**
- Đặt \( A(0, 0) \), \( B(a, 0) \), \( C(0, a) \) trong mặt phẳng tọa độ với \( a > 0 \) (tam giác ABC vuông cân tại A).
- M điểm giữa của \( BC \): \( M\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right) \).
- Vậy điểm \( D \) nằm trên tia đối của \( MA \).
- Giả sử \( D\) có tọa độ \( D\left(\frac{a}{2} - k, \frac{a}{2} - k\right) \) với \( k > 0 \).

2. **Tính tọa độ \( E \) và \( F \):**
- Đường thẳng vuông góc với \( AB \) sẽ cho ra \( EF \perp AB \) tại \( E \).
- \( AB \) có phương trình \( y = 0 \), vậy \( EF \) sẽ có dạng \( x = c_1 \) (hằng số).
- Tương tự cho đường vuông góc với \( AC \) tại \( F \) thì \( AC \) có phương trình \( x = 0 \) là \( y = c_2 \).
- Khi đó \( E \) có tọa độ \( E(c_1, 0) \) và \( F(0, c_2) \).

3. **Tính tọa độ đường thẳng \( MF \):**
- Tọa độ điểm \( M\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right) \) và \( F(0, c_2) \).
- Độ dốc của \( MF \) là \( \frac{c_2 - \frac{a}{2}}{0 - \frac{a}{2}} = -\frac{2(c_2 - \frac{a}{2})}{a} \).
- Phương trình đường thẳng \( MF \) là \( y - \frac{a}{2} = -\frac{2(c_2 - \frac{a}{2})}{a}\left(x - \frac{a}{2}\right) \).

4. **Tìm điểm \( N \) trên đường thẳng vuông góc với MF tại E:**
- Đường thẳng vuông góc với \( MF\) sẽ có độ dốc \( \frac{a}{2(c_2 - \frac{a}{2})} \).
- Từ đó, phương trình vuông góc với \( MF \) tại \( E(c_1, 0) \) là \( y - 0 = \frac{a}{2(c_2 - \frac{a}{2})}(x - c_1) \).

5. **Tính góc \( \angle AND \):**
- Để chứng minh \( \angle AND = 45^\circ \), ta sẽ tính tan của góc này:
- Vectors \( \overrightarrow{AN} \) và \( \overrightarrow{AD} \) tương ứng từ điểm \( A \) đến \( N \) và \( D \).
- Tính góc giữa hai vectơ sẽ dẫn đến \( \tan(\theta) = 1 \Rightarrow \theta = 45^\circ \).

6. **Kết luận:**
- Bằng cách áp dụng định lý và các tính chất hình học cho tam giác vuông cân, chúng ta có thể khẳng định #{\tan(AND) = 1} => #{\angle AND = 45^\circ#}.

Chúc bạn hoàn thành bài toán thành công!