Để giải bài toán tìm \( x, n \in \mathbb{N} \) sao cho \( P = x^4 + 2^{4n+2} \) là số nguyên tố, ta có thể phân tích như sau:

1. **Xét giá trị của \( n \)**:
- Khi \( n = 0 \): \( P = x^4 + 2^2 = x^4 + 4 \).
- Khi \( n = 1 \): \( P = x^4 + 2^6 = x^4 + 64 \).
- Khi \( n = 2 \): \( P = x^4 + 2^{10} = x^4 + 1024 \).
- ...

2. **Xét tính chất của \( P \)**:
- Để \( P \) là nguyên tố, \( P \) cần lớn hơn 1 và không thể chia hết cho bất kỳ số nguyên nào ngoại trừ 1 và chính nó.

3. **Xét một số giá trị cụ thể**:
- **Khi \( x = 0 \)**:
\[
P = 0 + 2^{4n+2} = 2^{4n+2}
\]
Đây không phải là số nguyên tố (trừ trường hợp n=0).

- **Khi \( x = 1 \)**:
\[
P = 1 + 2^{4n+2}
\]
Ta cần kiểm tra điều kiện này cho các giá trị của \( n \).

- **Khi \( x = 2 \)**:
\[
P = 16 + 2^{4n+2}
\]
Giá trị này sẽ phụ thuộc vào \( n \).

- **Khi \( x \) lớn hơn 2**, giá trị \( P \) sẽ tăng nhanh và có thể xét các giá trị nhỏ để dễ dàng tìm số nguyên tố.

4. **Kiểm tra các trường hợp**:
- Thực hiện kiểm tra một số giá trị cụ thể cho \( x \) và \( n \) để tìm ra giá trị mà \( P \) là nguyên tố.
- Ví dụ:
- \( n = 0, x = 1 \) cho \( P = 5 \) (nguyên tố).
- \( n = 0, x = 2 \) cho \( P = 20 \) (không phải nguyên tố).
- \( n = 1, x = 1 \) cho \( P = 65 \) (không phải nguyên tố).
- \( n = 1, x = 0 \) cho \( P = 64 \) (không phải nguyên tố).
- ...

5. **Kết luận**:
- Từ các trường hợp đã thử, ta dễ dàng nhận thấy rằng \( (x, n) = (1, 0) \) là một nghiệm để \( P \) là số nguyên tố.

Bạn có thể tiếp tục thử thêm các giá trị khác để xác định thêm các cặp \( (x, n) \) mà thỏa mãn điều kiện là nguyên tố.