Để giải bài toán này, chúng ta sẽ giải từng phần theo yêu cầu.

### a) Chứng minh rằng bốn điểm B, F, E, C cùng thuộc một đường tròn.

Trong tam giác ABC cân tại A, vì BE và CF là hai đường cao, nên AE vuông góc với BC và AF vuông góc với BC.

Từ đó, ta có:
- AE vuông góc với BC (do BE là đường cao).
- AF vuông góc với BC (do CF là đường cao).

Vì B và C là hai điểm nằm trên cùng một đường tròn với E và F, ta thực hiện một số phát biểu:
- Gọi α là góc ABE và β là góc ACF. Góc ABE = 90° và góc ACF = 90° (vì BE, CF là đường cao).
- Hơn nữa, góc BEC = 180° - góc ABE - góc ACF = 180° - 90° - 90° = 0° (E, C, B thẳng hàng).

Do đó, ta có mối liên hệ:
- Góc BEC = góc BFC = 90°.

Điều này có nghĩa là bốn điểm B, F, E, C cùng thuộc một đường tròn với đường kính BC.

### b) Chứng minh rằng bốn điểm B, H, E, C cùng thuộc một đường tròn.

Ta đã biết BE và CF là hai đường cao trong tam giác ABC. Định nghĩa điểm H là giao điểm của BE và CF.

Vì BE ⊥ AC và CF ⊥ AB, nên chúng ta có:

- Góc BHE = 90° (vì BE ⊥ AC).
- Góc BHC cũng cố định.

Tương tự như bối cảnh ở phần a), theo tính chất của các đường kính của đường tròn, chúng ta có:
- Góc BEC + góc BHC = 90° + góc BHC.

Từ đó, có thể nói rằng bốn điểm B, H, E, C cũng nằm trên cùng một đường tròn với đường kính BC.

### c) Tìm tâm của đường tròn đi qua bốn điểm A, F, D, C và tâm của đường tròn đi qua bốn điểm A, E, H, F.

1. **Tâm đường tròn đi qua bốn điểm A, F, D, C:**
- Gọi O1 là tâm của đường tròn đi qua A, F, D, C. Tâm O1 nằm trên đường trung trực của đoạn AF và đường trung trực của đoạn DC.
- Do D là trung điểm của BC, O1 sẽ nằm trên đường thẳng vuông góc với BC tại D.

2. **Tâm đường tròn đi qua bốn điểm A, E, H, F:**
- Gọi O2 là tâm của đường tròn đi qua A, E, H, F. Tâm O2 nằm trên đường trung trực của đoạn AE và đường trung trực của đoạn HF.
- Tương tự như phần trước, O2 sẽ nằm trên đường thẳng vuông góc với AE tại một điểm trên AE và cũng là một điểm thuộc AF.

Từ đây, ta có thể tính toán vị trí chính xác của các tâm này nếu biết các tọa độ cụ thể của điểm A, B, C.

Vậy là đã hoàn thành các phần của bài toán.