Để giải hệ phương trình \( x - y = m \) và \( x^2 + y^2 = 5 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a) Giải hệ phương trình với \( m = 1 \)

Khi \( m = 1 \), hệ phương trình trở thành:
\[
x - y = 1 \quad (1)
\]
\[
x^2 + y^2 = 5 \quad (2)
\]

Từ phương trình (1), ta có thể biểu diễn \( y \) theo \( x \):
\[
y = x - 1
\]

Thay \( y \) vào phương trình (2):
\[
x^2 + (x - 1)^2 = 5
\]

Giải phương trình này:
\[
x^2 + (x^2 - 2x + 1) = 5
\]
\[
2x^2 - 2x + 1 = 5
\]
\[
2x^2 - 2x - 4 = 0
\]
\[
x^2 - x - 2 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}
\]
\[
x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}
\]
Ta có hai nghiệm:
\[
x_1 = 2, \quad x_2 = -1
\]

Từ mỗi giá trị của \( x \), ta tìm \( y \):
- Với \( x_1 = 2 \):
\[
y_1 = 2 - 1 = 1
\]
- Với \( x_2 = -1 \):
\[
y_2 = -1 - 1 = -2
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình khi \( m = 1 \) là:
\[
(2, 1) \quad \text{và} \quad (-1, -2)
\]

### b) Tìm \( m \) để hệ có nghiệm duy nhất

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi đường thẳng \( x - y = m \) tiếp xúc với đường tròn \( x^2 + y^2 = 5 \).

Đường tròn \( x^2 + y^2 = 5 \) có tâm tại \( (0,0) \) và bán kính \( R = \sqrt{5} \).

Bất phương trình của đường thẳng \( x - y = m \):
1. Viết lại dạng tổng quát:
\[
y = x - m \quad (3)
\]
2. Tìm khoảng cách từ tâm \( (0, 0) \) tới đường thẳng (3):
\[
\text{Khoảng cách} = \frac{|0 - 0 + m|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|m|}{\sqrt{2}}
\]

Để đường thẳng tiếp xúc đường tròn, khoảng cách cần bằng bán kính:
\[
\frac{|m|}{\sqrt{2}} = \sqrt{5}
\]

Giải phương trình này:
\[
|m| = \sqrt{5} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{10}
\]
Vậy:
\[
m = \sqrt{10} \quad \text{hoặc} \quad m = -\sqrt{10}
\]

**Kết luận:**
- Nghiệm của hệ phương trình khi \( m = 1 \) là \( (2, 1) \) và \( (-1, -2) \).
- Để hệ có nghiệm duy nhất, \( m \) cần bằng \( \sqrt{10} \) hoặc \( -\sqrt{10} \).