Để giải bài toán, trước tiên ta cần xác định góc C trong tam giác ABC. Theo tính chất của tam giác, tổng ba góc bằng 180°:

\[
C = 180° - A - B = 180° - 30° - 45° = 105°
\]

Bây giờ ta có tam giác ABC với:
- Góc A = 30°
- Góc B = 45°
- Góc C = 105°
- Độ dài cạnh BC = 8 cm.

### a. Tính AB

Để tính độ dài cạnh AB, ta sử dụng định lý sin:

\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
\]

Trong đó:
- \( a = BC = 8 \) cm
- \( b = AC \)
- \( c = AB \)

Áp dụng định lý sin cho cạnh BC (c) và góc C:

\[
\frac{BC}{\sin C} = \frac{AB}{\sin A}
\]

Thay số vào công thức:

\[
\frac{8}{\sin 105°} = \frac{AB}{\sin 30°}
\]

Tính giá trị của các sin:

- \( \sin 30° = \frac{1}{2} \)
- \( \sin 105° \approx 0.9659 \)

Thay vào công thức:

\[
\frac{8}{0.9659} = \frac{AB}{0.5}
\]

Giải phương trình:

\[
AB = 8 \times \frac{0.5}{0.9659} \approx 4.144 \text{ cm}
\]

### b. Tính AC

Tương tự, chúng ta tính AC bằng định lý sin:

\[
\frac{BC}{\sin B} = \frac{AC}{\sin A}
\]

Thay số:

\[
\frac{8}{\sin 45°} = \frac{AC}{\sin 30°}
\]

Với \( \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \):

\[
\frac{8}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{0.5}
\]

Giải phương trình:

\[
AC = 8 \cdot \frac{0.5 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{16}{\sqrt{2}} \approx 11.3137 \text{ cm}
\]

### c. Tính diện tích tam giác ABC

Công thức tính diện tích tam giác (S) trong trường hợp biết hai cạnh và góc giữa hai cạnh:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin C
\]

Thay giá trị vào:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot 4.144 \cdot 11.3137 \cdot \sin 105°
\]

Tính diện tích:

\[
S \approx \frac{1}{2} \cdot 4.144 \cdot 11.3137 \cdot 0.9659 \approx 24.25 \text{ cm}^2
\]

### Kết luận

- Độ dài cạnh AB ≈ 4.144 cm
- Độ dài cạnh AC ≈ 11.314 cm
- Diện tích tam giác ABC ≈ 24.25 cm²