Để giải bài toán về tứ giác EFGH, ta thực hiện từng phần theo yêu cầu:

1) **Xác minh các điểm thuộc một đường tròn:**

a) **Chứng minh: O là trung điểm EG.**
- Ta có \( \angle EFG = 90^\circ \) và \( \angle EHG = 90^\circ \).
- Do đó, tứ giác EFGH có các góc vuông tại điểm F và H, dẫn đến EF vuông góc với FG và EH vuông góc với HG.
- Khi O là trung điểm của EG, ta có \( OF = OH \). Điều này là do hai đoạn thẳng từ O đến F và H đều là các đường vuông góc hạ từ O xuống hai đoạn thẳng EH và FG.

b) **Chứng minh các điểm E, F, G, H thuộc một đường tròn:**
- Như đã chứng minh trên, ta có \( OF = OH \) và các góc ở F và H là góc vuông, chứng tỏ rằng 4 điểm E, F, G, H thuộc một đường tròn (O là tâm, và EF, GH là bán kính).

2) **Giải các câu hỏi tiếp theo:**

- **Cho \( EF = 7 \, cm \), góc \( EGF = 30^\circ \):**

a) **Giải tam giác EFG:**
- Trong tam giác EFG, ta có thể áp dụng định lý sin hoặc cos để tính các cạnh và góc. Cụ thể:
- \( FG \) có thể được tính bằng công thức:
\[
FG = \frac{EF}{\sin(30^\circ)} = \frac{7}{0.5} = 14 \, cm
\]
- \( EG \) có thể được tính bằng công thức:
\[
EG = \frac{EF}{\cos(30^\circ)} = \frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{14}{\sqrt{3}} \approx 8.08 \, cm
\]

b) **Kẻ OP vuông góc với EF tại P. Tính độ dài đoạn thẳng OP:**
- Dựa vào tam giác vuông EFG, ta đã có các thông số cần thiết và áp dụng định lý sinh cho tam giác EFG để tìm có thể thông qua cách này. Đặc biệt, ta có thể tính đoạn thẳng OP bằng chiều cao từ O xuống EF.
- Chiều cao OP có thể được tính bằng:
\[
OP = OF \sin(30°) = \text{bán kính} \cdot \sin(30°)
\]
(nếu OF là bán kính của đường tròn qua O với tâm là O, và góc 30° là góc tại O hoặc tại điểm F).

Như vậy, thông qua các thông số đã cho, bạn có thể tính toán được độ dài đoạn thẳng OP.