Để chứng minh các tính chất trong bài toán về tam giác ABC, chúng ta thực hiện lần lượt từng phần:

### a) Chứng minh \( KH = IB \)

1. **Giả thiết**: \( I \) là trung điểm của \( AB \) → \( AI = IB \).
2. Đường thẳng qua \( I \) và song song với \( BC \) cắt \( AC \) tại \( K \) → Từ yếu tố song song, ta có:
- Tam giác \( AKC \) và tứ giác \( AIBK \) tạo thành các đoạn thẳng song song.
- Theo tính chất của tam giác và tỉ lệ giữa các cạnh, có \( AK = KC \) (do \( K \) chia đoạn thẳng \( AC \) theo tỉ lệ).

### b) Chứng minh \( AK = KC \)

1. Tương tự như trên, từ sự song song giữa \( KI \) và \( BC \), và \( I \) là trung điểm → Các đoạn tạo với cạnh tương ứng sẽ tỉ lệ.
2. Khi đó, \( AK = KC \).

### c) Chứng minh \( IH \parallel AC \)

1. Đường thẳng qua \( K \) và song song với \( AB \) cắt \( BC \) tại \( H \) → \( KH \parallel AB \).
2. \( AB \parallel IH \) (do tính chất song song giữa các đoạn thẳng).

### d) Chứng minh \( H \) là trung điểm của \( BC \)

1. Từ kết quả \( KH \parallel AB \) và \( AK = KC \), \( H \) chia đoạn \( BC \) thành hai đoạn bằng nhau, nghĩa là:
- \( BH = HC \), do đó \( H \) là trung điểm của \( BC \).

Bằng các suy luận và tính chất hình học, chúng ta đã chứng minh các điểm đã nêu.