Để phân tích biểu thức \( a^2 + 4b^2 + 5c^2 + 4ab + 12bc + 6ac \), chúng ta sẽ thử phân tích nó thành tích của các biểu thức bậc nhất.

Chúng ta có thể bắt đầu bằng cách nhóm lại các hạng tử theo các biến:

1. Nhìn vào các hạng tử liên quan đến \( a, b, c \): \( a^2, 4b^2, 5c^2, 4ab, 12bc, 6ac \).
2. Chúng ta sắp xếp chúng lại để dễ dàng nhận diện:

\[
a^2 + 4ab + 6ac + 4b^2 + 12bc + 5c^2.
\]

Giờ đây, chúng ta sẽ thử hình thành các bình phương:

\[
= a^2 + 4ab + 4b^2 + 6ac + 12bc + 5c^2.
\]

Chúng ta nhận thấy rằng \( (a + 2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2 \).

Tiếp theo, để hoàn thành phân tích, chúng ta xem xét các hạng tử còn lại:

\[
= (a + 2b)^2 + 6ac + 12bc + 5c^2.
\]

Phân tách lại \( 6ac + 12bc + 5c^2 \):

Biểu thức này có thể viết dưới dạng:

\[
= (a + 2b)^2 + c(6a + 12b + 5c).
\]

Chúng ta sẽ cố gắng tìm một biểu thức để nhóm lại:

Nhận thấy rằng \( 6a + 12b + 5c \) có thể phức tạp hơn để có thể phân tích, chúng ta sẽ thử kiểm tra phương pháp khác.

Chúng ta sẽ thử nghiệm với các ánh xạ bình phương điểm.

Chúng ta phân tích biệt thức theo dạng \( (a + 2b + 3c)^2 \) và thêm bớt hạng tử:

\[
= (a + 2b + 3c)^2 - (3c)^2 + c(3c + 5c).
\]

Cuối cùng, từ phân tích này, chúng ta có thể thu gọn và khai triển lại để xem các hạng tử đóng góp vào cả hai khía cạnh.

Kết quả cuối cùng của việc phân tích biểu thức này là:

\[
= (a + 2b + 3c)^2.
\]

Vậy, ta có thể phân tích:

\[
a^2 + 4b^2 + 5c^2 + 4ab + 12bc + 6ac = (a + 2b + 3c)^2.
\]