Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần:

### Bài 11

a) **Giải phương trình:**
\[
\frac{x}{(x+2)^2} = \frac{x}{x^2 + 4} = \frac{14}{15}
\]

Ta có thể giải phương trình này theo hai phần:

1. Xét phương trình đầu tiên:
\[
\frac{x}{(x+2)^2} = \frac{14}{15}
\]

Nhân chéo để có:
\[
15x = 14(x+2)^2
\]

Khai triển và đưa về dạng phương trình bậc 2.

2. Tương tự, xét phương trình thứ hai:
\[
\frac{x}{x^2 + 4} = \frac{14}{15}
\]

Nhân chéo:
\[
15x = 14(x^2 + 4)
\]
Giải phương trình này.

b) **Tìm nghiệm nguyên của phương trình:**
\[
x^2 - 4xy + 5y^2 = 2(x - y)
\]
Chuyển vế và đưa về dạng bậc hai để phân tích, tìm các giá trị nguyên thỏa mãn.

### Bài 12

Cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), với \( H \) là chân đường cao từ \( A \).

a) **Chứng minh rằng:**
\[
AE \cdot AB = AF \cdot AC
\]
Dựa vào định lý Pythagore, các phương trình và tính chất của tam giác vuông.

b) **Giả sử \( P \) là giao của \( BF \) và \( HE \); \( Q \) là giao của \( CE \) và \( HF \); \( I \) là giao của \( BF \) và \( CE \). Chứng minh rằng:**
\[
PQ \perp AH
\]
Áp dụng các tính chất của hình chiếu, các đoạn thẳng vuông góc trong tam giác vuông.

### Gợi ý Giải bài
- Tính toán cẩn thận từng bước.
- Dùng định lý về tam giác vuông và các hệ thức giữa các đoạn thẳng trong tam giác để chứng minh.
- Đối với phần phương trình bậc 2 và các hệ phương trình, có thể sử dụng cách thử nghiệm giá trị nguyên để tìm nghiệm.