Để tính giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x \) và \( y \) thỏa mãn đẳng thức \( x^2 + y^2 + 5 = 2(x - 2y) \), trước tiên, ta cần giải phương trình này.

### Bước 1: Giải phương trình
Phương trình có dạng:
\[
x^2 + y^2 + 5 = 2x - 4y
\]
Chuyển các hạng tử về một phía:
\[
x^2 - 2x + y^2 + 4y + 5 = 0
\]

Để dễ dàng hơn, ta hoàn thành bình phương:
\[
(x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 + 5 = 0
\]
\[
(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 0
\]

Điều này chỉ xảy ra khi:
\[
x - 1 = 0 \quad \text{và} \quad y + 2 = 0
\]
Từ đó ta có:
\[
x = 1, \quad y = -2
\]

### Bước 2: Tính giá trị biểu thức \( A \)

Biểu thức \( A \) được cho là:
\[
A = \frac{x^2 + y^2 - x^2}{xy} \div \frac{y^2 + x^2}{x + y}
\]

Thay \( x = 1 \) và \( y = -2 \) vào biểu thức \( A \):
- \( x^2 = 1 \)
- \( y^2 = 4 \)
- \( xy = 1 \cdot (-2) = -2 \)

Tính từng phần trong biểu thức:
1. **Tử số:**
\[
x^2 + y^2 - x^2 = 4
\]

2. **Mẫu số:**
\[
xy = -2 \quad \Rightarrow \quad \frac{4}{-2} = -2
\]

3. **Thành phần phía dưới:**
\[
y^2 + x^2 = 1 + 4 = 5
\]
\[
x + y = 1 - 2 = -1 \quad \Rightarrow \quad \frac{5}{-1} = -5
\]

### Kết hợp lại
Để tính \( A \):
\[
A = \frac{4/-2}{-5} = \frac{-2}{-5} = \frac{2}{5}
\]

### Kết luận
Giá trị của biểu thức \( A \) là:
\[
\boxed{\frac{2}{5}}
\]