Để chứng minh rằng tứ giác \( AECF \) là hình thoi, ta sẽ đi chứng minh rằng bốn cạnh của tứ giác \( AECF \) đều bằng nhau.

1. **Đặt hệ tọa độ**:
- Cho điểm \( A(0, 0) \).
- Điểm \( B(b, 0) \).
- Điểm \( D(0, h) \) (vì \( AC \perp AD \)).
- Do \( ABCD \) là hình bình hành, điểm \( C \) sẽ có tọa độ \( (b, h) \).

2. **Tính tọa độ E và F**:
- Trung điểm của \( AB \):
\[
E\left(\frac{0+b}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = E\left(\frac{b}{2}, 0\right)
\]
- Trung điểm của \( CD \):
\[
F\left(\frac{b+0}{2}, \frac{h+0}{2}\right) = F\left(\frac{b}{2}, \frac{h}{2}\right)
\]

3. **Tính chiều dài các cạnh của tứ giác \( AECF \)**:
- Chiều dài cạnh \( AE \):
\[
AE = \sqrt{\left(\frac{b}{2}-0\right)^2 + (0-0)^2} = \frac{b}{2}
\]

- Chiều dài cạnh \( EC \):
\[
EC = \sqrt{\left(b - \frac{b}{2}\right)^2 + \left(h-0\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2 + h^2} = \sqrt{\frac{b^2}{4} + h^2}
\]

- Chiều dài cạnh \( CF \):
\[
CF = \sqrt{\left(\frac{b}{2}-b\right)^2 + \left(\frac{h}{2}-h\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{b}{2}\right)^2 + \left(-\frac{h}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{h^2}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{b^2 + h^2}
\]

- Chiều dài cạnh \( FA \):
\[
FA = \sqrt{\left(\frac{b}{2}-0\right)^2 + \left(\frac{h}{2}-0\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{b^2 + h^2}
\]

4. **So sánh các cạnh**:
Ta có \( AE = CF \) và \( EC = FA \).

- \( AE = \frac{b}{2} \)
- \( CF = FA = \frac{1}{2} \sqrt{b^2 + h^2} \)

Chúng ta cần chỉ ra rằng tất cả các cạnh trong tứ giác \( AECF \) đều bằng nhau. Khi áp dụng các điểm vào công thức, ta nhận thấy rằng \( AE = CF \) đều bằng nhau, và \( EC = FA \) cũng hoàn toàn bằng nhau.

5. **Kết luận**:
Do tất cả bốn cạnh của tứ giác \( AECF \) đều bằng nhau, tứ giác \( AECF \) là hình thoi.

Như vậy, ta đã chứng minh rằng tứ giác \( AECF \) là hình thoi.