Để chứng minh tam giác \( ABI \) là tam giác cân, ta có thể sử dụng những định nghĩa và tính chất của tam giác và tia phân giác.

1. **Xác định cấu trúc tam giác**:
- Ta có tam giác \( ABC \) với \( \angle A = 90^\circ \).
- Kẻ đường vuông góc \( AH \) sao cho \( H \) thuộc cạnh \( BC \).
- Tia phân giác của \( \angle HAC \) cắt \( BC \) tại điểm \( I \).

2. **Tính chất của tia phân giác**:
- Tia phân giác chia góc thành hai góc bằng nhau. Vì vậy, ta có:
\[
\angle BAI = \angle CAI.
\]

3. **Xem xét các góc trong tam giác**:
- Do \( AH \) vuông góc với \( BC \), ta có \( \angle BAH + \angle CAH = \angle A = 90^\circ \).
- Ta biết rằng \( \angle BAH = \angle CAI \) và \( \angle CAH = \angle BAI \) (vì tia phân giác chia thành 2 góc bằng nhau).

4. **Áp dụng định lý Sin**:
- Từ các tính chất trên, từ việc \( \angle BAI = \angle CAI \) nên ta có:
\[
AB = AC \cdot \frac{AI}{AI} = AC,
\]
- Điều này dẫn đến \( AB = AC \).

5. **Kết luận**:
- Như vậy, theo định nghĩa, ta đã chứng minh rằng tam giác \( ABI \) là tam giác cân với \( AB = AI \).
- Do đó,
\[
AB = AI = AC,
\]
- Từ đó suy ra tam giác \( ABI \) là tam giác cân.

**Tóm lại**, ta đã chứng minh được rằng tam giác \( ABI \) là tam giác cân từ các tính chất của tia phân giác và tính chất của tam giác vuông.