Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần một:

**a) Chứng minh rằng tứ giác AMDN là hình bình hành.**

Chúng ta có:

- DM // AC (đồng thời DM là một đường thẳng song song qua D)
- DN // AB (đồng thời DN là một đường thẳng song song qua N)

Vì AB song song AC (do tam giác ABC cân tại A), ta có:

- Nếu DM // AC và DN // AB, thì tứ giác AMDN là hình bình hành vì hai cặp cạnh đối song song.

**b) Chứng minh rằng tam giác AMB cân tại M.**

Để chứng minh tam giác AMB cân tại M, ta sử dụng tính đối xứng của tam giác cân:

- Trong tam giác ABC cân tại A, \( AC = AB \).
- Lại có AM = AM (cạnh chung).

Do đó, bởi định lý cạnh đồng thời và định lý tam giác cân, ta có:

- \( MB = AM \) và \( N \) là trung điểm của \( AC \).

Vậy \( \triangle AMB \) cân tại M.

**c) Chứng minh rằng \( DM + DN \) không đổi khi D thay đổi trên cạnh BC.**

Để chứng minh \( DM + DN \) không đổi, ta tính độ dài:

- Gọi \( DM = h_1 \) và \( DN = h_2 \).
- Do DM // AC và DN // AB, ta có:

\[
DM + DN = h_1 + h_2
\]

Khi D di chuyển trên BC, chiều cao \( h_1 \) từ D đến AC và chiều cao \( h_2 \) từ N đến AB sẽ có tổng không đổi, vì cả hai độ cao là chiều cao của hình bình hành AMDN.

Do đó, \( DM + DN \) là hằng số khi D thay đổi trên cạnh BC.

Như vậy, cả ba yêu cầu của bài toán đều đã được chứng minh.