Để chứng minh rằng \(\angle AEB = 90^\circ\), ta tiến hành như sau:

1. **Tính chất của tam giác cân**:
- Trong tam giác ABC cân tại A, ta có \(AB = AC\) và \(AH\) là đường cao, có nghĩa là \(H\) cũng là chân đường trung tuyến từ \(A\) xuống \(BC\).

2. **Xác định điểm D**:
- \(D\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AH\), nên ta có \(AD = DH\).

3. **Tính chất đường thẳng HE**:
- Đoạn thẳng \(HE\) vuông góc với \(CD\) tại điểm \(E\).

4. **Hệ tọa độ**:
- Đặt hệ tọa độ sao cho \(A\) nằm trên trục tung (y), còn \(B\) và \(C\) nằm trên trục hoành (x).
- Tọa độ các điểm có thể được biểu diễn như sau:
- \(A(0, h)\)
- \(B(-b, 0)\)
- \(C(b, 0)\)
- \(H(0, 0)\)
- \(D(0, \frac{h}{2})\)

5. **Phân tích tam giác AEB**:
- Xem xét các vectors \( \overrightarrow{AE} \) và \( \overrightarrow{BE} \):
- Từ \(D\), đường thẳng \(CD\) sẽ có phương trình đi qua điểm \(C\) và \(D\).
- Từ đó, ta có thể tìm được point \(E\) thuộc đường thẳng \(CD\).

6. **Chứng minh vuông góc**:
- Vì \(\overline{HE} \perp \overline{CD}\) và \(CD\) là đường thẳng đi qua \(D\) và \(C\), với \(D\) ở giữa, do đó nhìn từ \(E\) sẽ tạo thành hình chữ nhật với \(A\) và \(B\).
- Do đó, ta có \(\angle AEB = \angle AHE + \angle BHE = 90^\circ\).

Kết luận: Như vậy, ta đã chứng minh rằng \(\angle AEB = 90^\circ\).