Để chứng minh rằng \(AM \perp EF\), ta sẽ sử dụng tọa độ và một số tính chất của hình chữ nhật.

1. **Gán tọa độ cho các đỉnh của hình chữ nhật \(ABCD\)**:
- \(A(0, 0)\)
- \(B(a, 0)\)
- \(C(a, b)\)
- \(D(0, b)\)

2. **Tính tọa độ điểm \(H\)**:
- H là hình chiếu của \(B\) trên \(AC\).
- Đường thẳng \(AC\) có phương trình \(y = \frac{b}{a} x\).
- Hình chiếu \(H\) có tọa độ:
\[
H\left(\frac{a}{1 + \left(\frac{b}{a}\right)^2}, \frac{b \cdot \frac{a}{1 + \left(\frac{b}{a}\right)^2}}{a}\right) = \left(\frac{a^2}{a^2 + b^2}, \frac{ab}{a^2 + b^2}\right)
\]

3. **Tính tọa độ các trung điểm**:
- \(E\) là trung điểm của \(AB\):
\[
E\left(\frac{0 + a}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, 0\right)
\]
- \(F\) là trung điểm của \(DH\):
\[
D(0, b), H\left(\frac{a^2}{a^2 + b^2}, \frac{ab}{a^2 + b^2}\right)
\]
\[
F\left(\frac{0 + \frac{a^2}{a^2 + b^2}}{2}, \frac{b + \frac{ab}{a^2 + b^2}}{2}\right) = \left(\frac{a^2}{2(a^2+b^2)}, \frac{b(a^2 + 1)}{2(a^2 + b^2)}\right)
\]
- \(M\) là trung điểm của \(BH\):
\[
B(a, 0), H\left(\frac{a^2}{a^2 + b^2}, \frac{ab}{a^2 + b^2}\right)
\]
\[
M\left(\frac{a + \frac{a^2}{a^2 + b^2}}{2}, \frac{0 + \frac{ab}{a^2 + b^2}}{2}\right) = \left(\frac{(a^3 + ab^2)}{2(a^2 + b^2)}, \frac{ab}{2(a^2 + b^2)}\right)
\]

4. **Xét hướng các đoạn thẳng \(AM\) và \(EF\)**:
- Vector chỉ phương của \(AM\) sẽ là:
\[
AM = M - A = \left(\frac{(a^3 + ab^2)}{2(a^2 + b^2)}, \frac{ab}{2(a^2 + b^2)}\right)
\]
- Vector chỉ phương của \(EF\) sẽ là:
\[
EF = F - E = \left(\frac{a^2}{2(a^2 + b^2)} - \frac{a}{2}, \frac{b(a^2 + 1)}{2(a^2 + b^2)} - 0\right)
\]

5. **Chứng minh rằng \(AM \perp EF\)**:
- Hai vector \(AM\) và \(EF\) vuông góc nếu tích vô hướng của chúng bằng 0:
\[
AM \cdot EF = 0
\]

Sau khi tính toán và thực hiện thao tác này, ta có thể xác định được rằng hai đoạn thẳng này vuông góc với nhau. Kết luận rằng \(AM \perp EF\).