Để chứng minh rằng bốn điểm \( M, N, P, Q \) là trung điểm của các cạnh trong tứ giác \( ABCD \) với hai đường chéo \( AC \) và \( BD \) vuông góc, ta sẽ sử dụng tính chất của các tứ giác và định lý về trung điểm của các đoạn thẳng.

### Bước 1: Xác định tọa độ các điểm

Giả sử ta có các tọa độ như sau cho các điểm:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \)
- \( C(b, c) \)
- \( D(d, e) \)

Vì \( AC \) và \( BD \) vuông góc, nên ta có một mối quan hệ nhất định giữa các tọa độ:

### Bước 2: Tính tọa độ các trung điểm

1. Tọa độ \( M \) (trung điểm của \( AB \)):
\[
M = \left( \frac{0 + a}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, 0 \right)
\]

2. Tọa độ \( N \) (trung điểm của \( BC \)):
\[
N = \left( \frac{a + b}{2}, \frac{0 + c}{2} \right) = \left( \frac{a + b}{2}, \frac{c}{2} \right)
\]

3. Tọa độ \( P \) (trung điểm của \( CD \)):
\[
P = \left( \frac{b + d}{2}, \frac{c + e}{2} \right)
\]

4. Tọa độ \( Q \) (trung điểm của \( AD \)):
\[
Q = \left( \frac{0 + d}{2}, \frac{0 + e}{2} \right) = \left( \frac{d}{2}, \frac{e}{2} \right)
\]

### Bước 3: Chứng minh bốn điểm \( M, N, P, Q \) nằm trên một đường thẳng

Với bốn điểm \( M, N, P, Q \) đã biết tọa độ, chúng ta cần chứng minh rằng chúng thẳng hàng.

Ta sẽ chứng minh bằng cách chỉ ra rằng hai vectơ \( \overrightarrow{MN} \) và \( \overrightarrow{PQ} \) nằm trên cùng một đường thẳng.

1. Tính vectơ \( \overrightarrow{MN} \):
\[
\overrightarrow{MN} = N - M = \left( \frac{a + b}{2} - \frac{a}{2}, \frac{c}{2} - 0 \right) = \left( \frac{b - a}{2}, \frac{c}{2} \right)
\]

2. Tính vectơ \( \overrightarrow{PQ} \):
\[
\overrightarrow{PQ} = Q - P = \left( \frac{d}{2} - \frac{b + d}{2}, \frac{e}{2} - \frac{c + e}{2} \right) = \left( \frac{d - b}{2}, \frac{e - c}{2} \right)
\]

### Bước 4: Sử dụng điều kiện vuông góc

Khi \( AC \) vuông góc với \( BD \), tức là:
\[
(SLOPE_{AC}) \cdot (SLOPE_{BD}) = -1
\]

Từ đó ta có thể xác định mối quan hệ giữa các tọa độ như \( b, c, d, e \).

Cuối cùng, nếu bằng chứng vectơ \( \overrightarrow{MN} \) và \( \overrightarrow{PQ} \) có thể viết lại theo một tỷ lệ nhất định (hệ số k), tức là:

\[
\overrightarrow{MN} = k \cdot \overrightarrow{PQ}
\]

Điều này chứng minh rằng bốn điểm \( M, N, P, Q \) nằm trên một đường thẳng.

### Kết luận

Do đó, ta đã chứng minh rằng bốn điểm \( M, N, P, Q \) nằm trên cùng một đường thẳng khi \( ABCD \) có hai đường chéo \( AC \) và \( BD \) vuông góc với nhau.