Để chứng minh bốn điểm \(B\), \(E\), \(D\), \(C\) cùng nằm trên một đường tròn trong tam giác \(ABC\) với các đường cao \(BD\) và \(CE\), chúng ta có thể sử dụng tính chất về hình học của các góc trong tam giác và các đường cao.

Trước tiên, ta nhận biết rằng:

- Điểm \(D\) là chân đường cao từ \(B\) xuống cạnh \(AC\).
- Điểm \(E\) là chân đường cao từ \(C\) xuống cạnh \(AB\).

Theo tính chất của đường cao trong tam giác, ta có:

- Góc \(BDE = 90^\circ\) (vì \(BD \perp AC\))
- Góc \(CED = 90^\circ\) (vì \(CE \perp AB\))

Bây giờ, ta xem xét bốn điểm \(B\), \(E\), \(D\), \(C\). Để chứng minh rằng chúng nằm trên một đường tròn, ta cần chứng minh rằng chúng tạo thành một góc bằng 180 độ tại một điểm.

Ta có:

- Tổng các góc:
\[
\angle BDC + \angle BEC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ
\]

Điều này có nghĩa là góc \(BDC\) và góc \(BEC\) là hai góc phụ. Do đó, bốn điểm \(B\), \(E\), \(D\), \(C\) nằm trên một đường tròn, theo định lý đồng tâm.

Tâm của đường tròn này là giao điểm của hai đường cao \(BD\) và \(CE\), tức là nó sẽ nằm tại điểm vuông góc của các đường cao.

Bán kính của đường tròn có thể tính được bằng khoảng cách từ tâm tới một trong bốn điểm, ví dụ như khoảng cách từ tâm \(O\) tới điểm \(B\) (hay điểm \(C\)).

Kết luận, chúng ta đã chứng minh rằng bốn điểm \(B\), \(E\), \(D\), \(C\) nằm trên một đường tròn, và tâm của đường tròn này là giao điểm của hai đường cao \(BD\) và \(CE\).