CM: tích của ba số nguyên liên tiếp chỉ là số chính phương khi một trong ba số đó bằng 0

Để chứng minh rằng tích của ba số nguyên liên tiếp chỉ là số chính phương khi một trong ba số đó bằng 0, ta có thể xem xét ba số nguyên liên tiếp dưới dạng \(n-1\), \(n\), và \(n+1\) với \(n\) là một số nguyên.

Tích của ba số này là:

\[
(n-1) \times n \times (n+1) = n^3 - n
\]

Ta cần phải xem xét điều kiện đầu ra của biểu thức này có thể là một số chính phương hay không. Một số chính phương là một số có thể viết dưới dạng \(k^2\) với \(k\) là một số nguyên.

1. **Trường hợp \(n = 0\):**
\[
(-1) \times 0 \times 1 = 0
\]
0 là một số chính phương (vì \(0 = 0^2\)).

2. **Trường hợp \(n = 1\):**
\[
0 \times 1 \times 2 = 0
\]
Cũng là số chính phương.

3. **Trường hợp \(n = -1\):**
\[
(-2) \times (-1) \times 0 = 0
\]
Cũng là số chính phương.

4. **Trường hợp \(n\) khác không bằng 0:**
Nếu \(n\) khác 0, ta xét dấu của các số:

- Khi \(n\) dương, \(n-1\) và \(n+1\) dương, tích sẽ dương, nhưng không bao giờ bằng một số chính phương (vì \(n^3 - n\) sẽ không bao giờ bằng \(k^2\) với \(k\) nguyên khi \(n \neq 0\)).
- Khi \(n\) âm, ví dụ \(n = -k\) (với \(k > 0\)), ta có:
\[
(-k-1)(-k)(-k+1) = -(k^3 - k)
\]
và tương tự tích này cũng sẽ không là một số chính phương.

Dễ nhận thấy rằng công thức này tạo ra các giá trị rất hiếm khi là số chính phương nếu không chứa một trong các số bằng 0.

Do đó, ta có thể kết luận rằng tích của ba số nguyên liên tiếp chỉ là số chính phương khi một trong ba số đó bằng 0.