Cho tam giác ABC cân tại A, lấy D thuộc AB, E thuộc AC sao cho AD = CE. Gọi I là trung điểm của DE, K là giao của AI và BC

Để chứng minh rằng \( PQ = QE \), ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác và các đường thẳng song song.

Đầu tiên, vì \( AD = CE \) và tam giác \( ABC \) là tam giác cân tại \( A \), chúng ta có thể kết luận rằng các đoạn thẳng \( AD \) và \( CE \) có độ dài bằng nhau.

### Bước 1: Xác định vị trí các điểm

Cho \( I \) là trung điểm của đoạn thẳng \( DE \), từ đó \( DI = IE \). Với \( K \) là giao điểm của \( AI \) với \( BC \), chúng ta kẻ các đường thẳng qua \( D \) và \( I \) song song với \( BC \). Gọi các giao điểm trên các đường thẳng kẻ được lần lượt là \( P \) và \( Q \) với \( AC \).

### Bước 2: Chứng minh \( AP = EC \)

Theo giả thiết, ta có \( AP = EC \). Vì \( D, I, P \) đều nằm trên các đường thẳng song song với \( BC \), ta có thể áp dụng tính chất đồng dạng.

### Bước 3: Sử dụng phương pháp đồng dạng

Xét tam giác \( AIP \) và tam giác \( CIE \) (trong đó \( C \) nằm trên \( AC \)):
- Do \( AI \) (cắt \( BC \)) chia \( AC \) thành \( AP \) và \( PE \).
- Cả hai tam giác có góc chung tại \( A \) và các góc còn lại cũng bằng nhau do \( D, I, P, Q \) nằm trên các đường thẳng song song.

Do đó, từ tính chất đồng dạng của tam giác, ta có:
\[
\frac{AP}{AE} = \frac{IP}{IE}
\]
Với \( AP = EC \), ứng với cùng một tỷ lệ, ta chứng minh rằng phần còn lại của đoạn thẳng trong tam giác có tỉ lệ tương ứng.

### Bước 4: Tính chất lại

Với các điểm \( D, I, Q, P \) được xác định, đồng thời chúng đều nằm trong áng hưởng không thay đổi của \( A \).

### Kết luận
Cuối cùng, từ các tính chất đã chứng minh và tỷ lệ tương đương, ta có:
\[
PQ = QE
\]
Do đó, ta đã chứng minh thành công rằng:

\[
PQ = QE
\]

Chứng minh hoàn tất.