Để tìm số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số mà khi chia cho 75 có thương và số dư bằng nhau, ta có thể gọi số cần tìm là \( N \).

Khi chia số \( N \) cho 75, ta có thể viết:

\[
N = 75k + r
\]

trong đó \( k \) là thương và \( r \) là số dư. Theo đề bài, ta có điều kiện là \( k = r \). Do đó, ta có thể viết lại phương trình:

\[
N = 75k + k = 76k
\]

Bây giờ ta cần tìm giá trị lớn nhất của \( N = 76k \) sao cho \( N \) vẫn có ba chữ số. Số lớn nhất có ba chữ số là 999.

Ta giải bất phương trình:

\[
76k \leq 999
\]

Chia cả hai vế cho 76:

\[
k \leq \frac{999}{76} \approx 13.13
\]

Vì \( k \) phải là số nguyên, nên giá trị lớn nhất của \( k \) là 13.

Bây giờ chúng ta tính giá trị của \( N \):

\[
N = 76 \times 13 = 988
\]

Kiểm tra lại:

- Chia \( 988 \) cho \( 75 \):

\[
988 \div 75 = 13 \quad \text{(thương)}
\]
\[
988 \mod 75 = 988 - 75 \times 13 = 988 - 975 = 13 \quad \text{(số dư)}
\]

Vậy số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số mà khi chia cho 75 có thương và số dư bằng nhau là **988**.