Để chứng minh tứ giác \( AEHF \) là hình chữ nhật, chúng ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của tứ giác này vuông góc với nhau và bằng nhau.

### Bước 1: Chứng minh \( AE \) vuông góc với \( AH \)

Bởi vì \( AH \perp BC \) và \( AE \) là đường chéo từ \( A \) đến \( E \) thuộc đường tròn đường kính \( AH \), nên theo định lý đường tròn đường kính, ta có:
\[
\angle AEF = 90^\circ
\]
Điều này có nghĩa là \( AE \) vuông góc với \( EF \).

### Bước 2: Chứng minh \( HF \) vuông góc với \( AH \)

Tương tự như trên, với \( F \) cũng nằm trên đường tròn đường kính \( AH \), ta có:
\[
\angle HFA = 90^\circ
\]
Điều này cho thấy rằng \( HF \) cũng vuông góc với \( AE \).

### Bước 3: Chứng minh rằng các cạnh \( AE \) và \( HF \) bằng nhau

Do \( E \) và \( F \) là giao điểm thứ hai của đường tròn tại \( AB \) và \( AC \), và \( AH \) là đường kính, có nghĩa là:
\[
AE = HF
\]
vì các đoạn thẳng này đều là bán kính của đường tròn.

### Bước 4: Kết luận

Từ các điểm trên, chúng ta đã chứng minh được rằng:

1. \( AE \perp EF \)
2. \( HF \perp AE \)
3. \( AE = HF \)

Vì vậy, tứ giác \( AEHF \) thỏa mãn các điều kiện của một hình chữ nhật và ta có thể kết luận rằng:
\[
AEHF \text{ là hình chữ nhật.}
\]