Tìm các số nguyên tố p, q biết p^2 + 6p - q^2 - 16q - 55 = 0

Để giải phương trình \( p^2 + 6p - q^2 - 16q - 55 = 0 \), ta sẽ làm theo các bước sau:

1. **Chuyển đổi phương trình**:
\[
p^2 + 6p - q^2 - 16q - 55 = 0 \Rightarrow p^2 + 6p = q^2 + 16q + 55
\]

2. **Xét các biểu thức**: Chúng ta có thể viết lại hai biểu thức bên trái và bên phải.

- Bên trái: \( p^2 + 6p = (p + 3)^2 - 9 \)
- Bên phải: \( q^2 + 16q + 55 = (q + 8)^2 - 9 \)

Do đó, phương trình trở thành:
\[
(p + 3)^2 - 9 = (q + 8)^2 - 9
\]
Hay:
\[
(p + 3)^2 = (q + 8)^2
\]

3. **Giải phương trình**:
Từ đây, ta có hai trường hợp:
\[
p + 3 = q + 8 \quad \text{hoặc} \quad p + 3 = -(q + 8)
\]

- **Trường hợp 1**:
\[
p - q = 5 \Rightarrow p = q + 5
\]
Thay vào điều kiện \( p \) và \( q \ là số nguyên tố \).

- **Trường hợp 2**:
\[
p + q + 11 = 0 \Rightarrow p + q = -11
\]
Tuy nhiên, \( p \) và \( q \) là số nguyên tố dương, nên phương trình này không có nghiệm.

4. **Tìm nghiệm cho trường hợp 1**:
- Ta cần \( q \) là số nguyên tố, do đó \( p = q + 5 \) cũng phải là một số nguyên tố.
- Xét các giá trị của \( q \):
- \( q = 2 \): \( p = 7 \) (nguyên tố)
- \( q = 3 \): \( p = 8 \) (không phải nguyên tố)
- \( q = 5 \): \( p = 10 \) (không phải nguyên tố)
- \( q = 7 \): \( p = 12 \) (không phải nguyên tố)
- \( q = 11 \): \( p = 16 \) (không phải nguyên tố)
- \( q = 13 \): \( p = 18 \) (không phải nguyên tố)
- \( q = 17 \): \( p = 22 \) (không phải nguyên tố)

Tiếp tục đến khi \( q \) không còn là số nguyên tố nhỏ hơn 37 (số nguyên tố lớn nhất < 42 - 5).

5. **Kết luận**:
Các số nguyên tố \( p, q \) thỏa mãn phương trình là:
- \( (p, q) = (7, 2) \)

Tóm lại, nghiệm duy nhất là \( (p, q) = (7, 2) \).