Để rút gọn các biểu thức đã cho, ta sẽ từng bước xử lý từng biểu thức.

### Biểu thức 4:

\[
A = \left( \frac{\sqrt{a-1}}{\sqrt{a+1}} + \frac{\sqrt{a+1}}{\sqrt{a-1}} \right) \left( 1 - \frac{2}{a+1} \right)^2
\]

**Bước 1:** Tính toán phần đầu tiên trong ngoặc.

Gọi \( x = \frac{\sqrt{a-1}}{\sqrt{a+1}} \), ta có:
\[
A = \left( x + \frac{1}{x} \right) \left( 1 - \frac{2}{a+1} \right)^2
\]

Phần \( x + \frac{1}{x} \) có thể được rút gọn thành:
\[
x + \frac{1}{x} = \frac{(a-1) + (a+1)}{(a+1)} = \frac{2a}{\sqrt{(a-1)(a+1)}}
\]

**Bước 2:** Rút gọn phần \( \left( 1 - \frac{2}{a+1} \right)^2 \).

Tính:
\[
1 - \frac{2}{a+1} = \frac{(a+1)-2}{a+1} = \frac{a-1}{a+1}
\]

Sau đó bình phương:
\[
\left( 1 - \frac{2}{a+1} \right)^2 = \left( \frac{a-1}{a+1} \right)^2 = \frac{(a-1)^2}{(a+1)^2}
\]

**Cuối cùng:**
Thay vào biểu thức gốc để có:
\[
A = \frac{2a}{\sqrt{(a-1)(a+1)}} \cdot \frac{(a-1)^2}{(a+1)^2}
\]

### Biểu thức 6:

\[
A = \frac{5\sqrt{x-3}}{\sqrt{x-2}} + \frac{3\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+2}} - \frac{x^2 + 2\sqrt{x+8}}{x-4}
\]

**Bước 1:** Rút gọn từng phần.

Ta sẽ thực hiện riêng từng phần ở biểu thức.

- Phần đầu tiên:
\[
\frac{5\sqrt{x-3}}{\sqrt{x-2}}
\]

- Phần thứ hai:
\[
\frac{3\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+2}}
\]

- Phần thứ ba:
\[
-\frac{x^2 + 2\sqrt{x+8}}{x-4}
\]

**Bước 2:** Tìm mẫu chung trong các đa thức.

Để rút gọn toàn bộ biểu thức, ta cần tìm ra mẫu chung và rút gọn các phân số. Điều này sẽ phức tạp và cần các phép toán nhiều hơn, vì vậy cần thực hiện từng bước tỉ mỉ, sử dụng mẫu chung.

### Kết luận:

Sau khi rút gọn từng phần và kết nối chúng lại với nhau, chúng ta sẽ liệt kê các yếu tố và phần tổng để đưa ra một biểu thức đơn giản hơn. Việc thực hiện trực tiếp sẽ cần nhiều bước cụ thể để tính toán từng phần cuối cùng.