Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( N = a + b \) với điều kiện \( a^3 + b^3 = 2 \), chúng ta có thể sử dụng một số bất đẳng thức và tính chất của hàm số.

Trước hết, chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, hoặc một cách khác đơn giản hơn là tìm cực trị.

Ta biết rằng \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \). Gọi \( S = a + b \) và \( P = ab \), thì ta có:
\[
a^3 + b^3 = S(S^2 - 3P).
\]

Khi đó, điều kiện bài toán trở thành:
\[
S(S^2 - 3P) = 2.
\]

Muốn tìm giá trị lớn nhất của \( S \), chúng ta sẽ tối ưu hóa \( S \) trong điều kiện này.

Từ \( S^2 \) có thể tính được \( P \):
\[
P = \frac{S^3 - 2}{3S}.
\]
Để \( P \) là một số dương (để có \( a \) và \( b \) là số thực), ta cần \( S^3 - 2 \geq 0 \) hay \( S \geq \sqrt[3]{2} \).

Bây giờ, sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho \( a \) và \( b \):
\[
\frac{a^3 + b^3}{2} \geq \sqrt{a^3 b^3} \Rightarrow \frac{2}{2} \geq \sqrt{(ab)^3} \Rightarrow 1 \geq (ab)^{3/2}.
\]
Suy ra \( ab \leq 1 \).

Từ \( P \leq 1 \) và \( S^2 \geq 4P \) theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Do đó:
\[
S^2 \geq 4P \Rightarrow S^2 \leq 4.
\]
Suy ra \( S \leq 2 \).

Giá trị lớn nhất \( N = a + b \) đạt được khi \( a = b \). Từ \( a^3 + b^3 = 2 \) suy ra \( 2a^3 = 2 \) hay \( a^3 = 1 \), tức là \( a = 1 \) và \( b = 1 \).

Vậy giá trị lớn nhất của \( N = a + b \) là:
\[
\boxed{2}.
\]